同济-高等数学-第三版(1.3)第三节函数的极限概要.ppt

按定义进行证明 · 必要性 设 ，要证 因为 ，由定义，对 ? ? 0，存在 ? 0 , 使得当 0 | x - x 0| ? 时，| f( x )- A| ? ，即 当 x 0 - ? x x 0 时，有 | f( x )- A| ? ， 当 x 0 x x 0 + ? 时，有 | f( x )- A| ? . 由单侧极限的定义知： · 充分性 设 ，要证 因为 ，由单侧极限的定义 对 ? ? 0，存在 ? 1 ,? 2 0，使得 当 x 0 - ? 1 x x 0 时，有 | f( x )- A| ? ， 当 x 0 x x 0 + ? 2 时，有 | f( x )- A| ? . 取 ? = min{ ? 1,? 2 }，则当 0 | x - x 0| ? 时，以上 两式均成立，即恒有 | f( x )- A| ? . 由极限定义知： 由于单侧极限形式相对简单，利用这一结果常可 将复杂的双侧极限问题转化为较简单的单侧极限问题 进行讨论，特别是对分段函数在分段点处极限问题， 应用这一结果尤为方便。 例：设函数 证明：当 x → 0 时，f( x )的极限不存在。 这是个分段函数在分 段点处的极限讨论问题。 由于该分段函数在分段 点 x = 0 两侧的表达式不同， 故宜分别通过两个单侧极限 来考察此分段点处的极限。 根据单侧极限与双侧极限的关系证明 · 确定分段点处的左极限 当 x 0 时，f( x )= x -1 ，由直观容易看出应有 为说明结果的正确性，考虑用“? - ? ”定义证之。 因为| f( x )-( -1 )|= |( x -1 )-( -1 )|= | x|，故 对 ? ? 0，存在 ? = ? ，使得 当 - ? x 0 时，有 |( x -1 )-( -1 )|= | x| ? = ? . 由左极限的定义知： · 确定分段点处的右极限 当 x 0 时，f( x )= x +1 ，易看出应有 与左极限的情形相类似，可方便地证明这一结果。 因为在分段点 x = 0 处有 由函数在一点的极限与单侧极限的关系知： 不存在。 · 证明分段点处的极限不存在 对函数性质的直观认识通常是建立在有限区间基 础之上的。然而，通过这种认识方法对函数性质的了解 往往还只是“局部的”或“有限的”。 从微积分研究需要和某些实际问 题的讨论要求看，对定义在无穷区间 上的函数 f( x )，要了解其“总体” 或“全局”的性质，还需要考虑 自变量 x 无限增大时函数的性质， 即需研究 x → ? 时函数 f( x )的变化 趋势及性质。 例如，对于函数 f( x )= arctan x，要了其沿 x 轴的 两端无限远去时的性状，就必须研究 x → ? 时，f( x )的 变化趋势。 又如，在考虑点电荷电场的作功问题时，就会遇到 如下形式的极限问题： f( x )= kq /x 2 →0,( x →? ). 设有定义在( -? ,+? )上的函数 y = f( x )，直观地 考虑极限问题： f( x )→ A，x → ? . (1)自变量趋于无穷大时函数极限的直观认识 (2)自变量趋于无穷时函数极限的精确定义 设函数 f( x )当| x |大于某正数 M 时定义，如果存 在常数 A，使得对于任意给定的正数 ? (无论它多么小), 总存在着正数 X，只要自变量 x 适合不等式 | x | X ， 对应的函数值 f( x )就都满足不等式| f( x )- A | ? ，那 么常数 A 就叫做函数 f( x )当 x → ? 时的极限，记作： 如果这样的常数不存在， 那么称 x → ? 时 f( x )没有极限。 (3) 用“? – X ”定义证明函数极限为某定值 例