同济-高等数学-第三版(9.4)第四节三重积概要.ppt

用投影穿线法化三重积分为累次积分 求得累次积分限为 投影 穿线 计算累次积分 用截面法化三重积分为累次积分 本例被积函数的特点是仅含一个变量： z = f( rcos? , rsin ? , z )= z . 因此可考虑采用截口法计算，并选择沿垂直于 z 轴 方向作截口。将 ? 向 z 轴投影，得投影区间[ 0 ,2 ]. 求得曲面交线 改写曲面方程 选择投影轴 向 z 轴投影 由直观可见，截口形式取决于截口位置： 当 z ?[ 0 ,1]时， 截口在抛物面 截口区域方程为 当 z ?[ 1 ,2]时， 截口在球面 截口区域方程为 沿垂直于 z 轴方向作截口、并确定截口形式 计算累次积分 计算累次积分 球面坐标系是在直角 坐标系的基础上所建立的 一种坐标系。 对于空间一点 M，它 是用坐标原点到该点的距 离 r ，矢径 与相应坐标 轴的交角 ? ，矢径 与 相应坐标轴交角 ? 来表示点的位置的一种坐标表示法。 (1) 球面坐标系的建立 设有空间直角坐标系 中的一点 M( x,y,z ). 记： 将点 M( x,y,z ) 投影到 xOy 平面得点 P( x,y )， 再记：　　　　 　 于是由点 M( x,y,z ) 可确定一组有序数组 (2) 球面坐标系下点与数组间的“1-1对应”关系 空间一点对应一组有序数 r,? ,? r ,? ,? 一组有序数 r,? ,? 对应空间一点 对于一组有序的数 r、? 、? ，在直角坐标系中以 原点为球心，r 为半径可作一球面。 以 z 轴为对称轴，? 为半顶角可作一圆锥面， 圆锥面与球面必有一条 交线 ? ． 过 z 轴作极角为 ? 的半平面，半平面与 ? 必有一交点 M ．于是 r,? ,? M 有序数 r,? ,? 与空间一点的 M“1-1”对应 若约定：0 ? ? ? ?，0 ? ? ? 2?，0 ? r ? + ? ，则 r = 常数 以原点为球心的球面。 以 z 轴为对称轴的圆锥面。 过 z 轴的半平面。 和直角坐标系下的坐标面的情形不同的是，球面坐 标系下的坐标面不是唯一的，而是由一系列同一类型的 曲面所组成。 ? = 常数 ? = 常数 (3) 球面坐标系下的坐标面 r = 常数 ? = 常数 ? = 常数 三重积分计算的基本思想是将其化为累次积分。 化三重积分为累次积分关键是确定各次定积分的积 分限，累次积分限的确定与区域的分割方式及表达方式 密切相关。 区域的分割方式及表达方式 与坐标系的构造及相应坐标面 的形式密切相关。 在球面坐标系下，为便于计算三重积分，通常用柱 面坐标系下的坐标面网分割积分区域 ? ，即用 r = 常数, ? = 常数，? = 常数的曲面分割区域 ? . 在此分割下，积分区域 ? 被划分 为一系列特殊的小立体。因此，在 柱面坐标系下化三重积分为累次积 分就是将这些小立体所对应的被积表 达式按某种方式作累加。 (1) 球面坐标系下区域的分割方式及三重积分形式 (1) 柱面坐标系的构造 将极坐标平面放在 xOy 平面上，使极点与原点重合, 极轴与 x 轴重合，再在极点插上与极坐标平垂直的 z 轴, 便构成了空间点 M 与有序数组( r,?,z ) 的一种“1-1对应”关系，这种对 应关系就是柱面坐标系。 (2) 柱面坐标系下点与数组间的“1-1对应”关系 空间一点可对应一组有序数 r,? ,z 设有空间直角坐标系中的一点 M( x,y,z )，过点 M 作垂直于 z 轴的平面与 z 轴相截，则截点坐标为 z . 将点 M 向极坐标平面投影得点 P( x,y )，连接极点 O 与 P 可确定极角 ? ，与极径 　 于是由点 M( x,y,z )可确定一组有序数 r,? ,z． M 有序的数组 r,? ,z 一组有序数 r,? ,z 对应空间一点 对于一组有序的数 r,? ,z， 在 z 轴上取坐标为 z 的 点，过该点作垂直于 z 轴的平面 ? ．以 z 轴为对称轴作 半径为 r 的圆柱面，则圆柱面与平面 ? 的交线为 ?