2.3实变函数与泛函分析点集.ppt

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2.3实变函数与泛函分析点集

第三节 开集、闭集 1.开集、闭集 例:开区间(a,b)为开集 例:闭区间[a,b]为闭集 2.闭集为对极限运算封闭的点集 .结论:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列 收敛于A中的点. TH1: Eo为开集 TH2: E`为闭集 E`为闭集 3.开集与闭集的对偶性 1.)开集的余集是闭集 2.)闭集的余集是开集 4.性质 a. 空集,Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集; c. 有限个开集之交仍为开集。 2.)闭集的性质 a.空集,Rn为闭集; b.任意多个闭集之交仍为闭集; c.有限个闭集之并仍为闭集。 5. R中有关紧性的两个结论 ⑴Weierstrass定理: 若E是Rn中的一个有界的无限集,则E至少有一个聚点. ⑵ Heine-Borel有限覆盖定理 设F为有界闭集,若开集簇 覆盖F( 即 ), 则 中存在有限个开集U1 ,U2, … ,Un,它同样覆盖F. (3.)可数覆盖定理 设F为Rn中一 集合,若开集簇 覆盖F( 即 ), 则 中存在可数个开集U1 ,U2, … ,Un ,… ,它同样覆盖F. (4.)紧性有关概念 1.紧集的概念(P43) 2 3.自密集定义. 4.完备/完全集. * * 第二章 点集 P0为 E的接触点: P0为 E的聚点: P0为 E的内点: 说明:1.)要证E是开集,只要证 2.)要证E是闭集,只要证 若Eo = E , 则称E为开集(E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外) 说明:要证E是开集,只要证 a b x 证明:任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x是(a,b)的内点, 故(a,b)是开集。 说明: 要证E是闭集,只要证 a b x 证明:任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x不是[a,b]的接触点, 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内, 从而[a,b]是闭集。 利用: p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使得 若 (或 ),则称E为闭集。 (与E接近的点不跑到E外) 注: Eo为含于E内的最大开集 E 从而y为E的内点,从而. 所以x为Eo的内点,即 证明:只要证 任取  ,由内点的定义知 任取 ,取 E 证明:只要证 任取 ,由聚点的定义知 注: 为包含E的最小闭集 E 从而. 即x为E的聚点,从而 P0为 E的接触点: P0为 E的聚点: P0为 E的内点: P0为 E的外点: b.1.)若E为开集,则Ec为闭集; 2.)若E为闭集,则Ec为开集。 a. P0为 E的接触点: P0为 E的内点: 从而x不是Ec的接触点, 也即Ec的接触点一定在Ec内, 从而 ,即Ec为闭集。 证明:设E为开集,即 从而 P0为 E的接触点: P0为 E的内点: 证明:设E为闭集,即 任取 ,假如x不是Ec的内点, 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点, 从而x为E的接触点,由E为闭集可知x在E内, 这与  矛盾, 所以Ec中的点都为Ec的内点,即Ec为开集。 注:无限多个开集的交不一定为开集,如:En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭. 存在大量既不开又不闭的集合,如:E=[0,1) A B 1.)开集的性质 注:无限多个闭集的并不一定为闭集,如:En=[0,1-1/n] 若E为开集,则Ec为闭集; 若E为闭集,则Ec为开集 点列{a1 , a2 , a3 , a4 ,…} a1 = (a11, a12, a13, … ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, … , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, … ,a3n) … … 注:对无限维空间不一定成立

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