2.3实变函数与泛函分析点集.ppt

第三节 开集、闭集 1.开集、闭集 例：开区间(a,b)为开集 例：闭区间[a,b]为闭集 2.闭集为对极限运算封闭的点集 .结论：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列 收敛于A中的点. TH1: Eo为开集 TH2: E`为闭集 E`为闭集 3.开集与闭集的对偶性 1.）开集的余集是闭集 2.）闭集的余集是开集 4.性质 a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。 2.）闭集的性质 a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。 5. R中有关紧性的两个结论 ⑴Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点. ⑵ Heine-Borel有限覆盖定理 设F为有界闭集，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在有限个开集U1 ，U2， … ,Un，它同样覆盖F. (3.)可数覆盖定理 设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， … ,Un ，… ，它同样覆盖F. (4.)紧性有关概念 1.紧集的概念（P43） 2 3.自密集定义. 4.完备/完全集. * * 第二章 点集 P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： P0为 E的内点： 说明：1.）要证E是开集,只要证 2.）要证E是闭集，只要证 若Eo = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外） 说明：要证E是开集，只要证 a b x 证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集。 说明： 要证E是闭集，只要证 a b x 证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， 从而[a,b]是闭集。 利用： p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使得 若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外） 注： Eo为含于E内的最大开集 E 从而y为E的内点，从而. 所以x为Eo的内点，即 证明：只要证 任取　 ，由内点的定义知 任取 ，取 E 证明：只要证 任取 ，由聚点的定义知 注： 为包含E的最小闭集 E 从而. 即x为E的聚点，从而 P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： P0为 E的内点： P0为 E的外点： b.1.)若E为开集，则Ec为闭集; 2.)若E为闭集，则Ec为开集。 a. P0为 E的接触点： P0为 E的内点： 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 证明：设E为开集，即 从而 P0为 E的接触点： P0为 E的内点： 证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与　 矛盾， 所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。 注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭. 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1) A B 1.）开集的性质 注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n] 若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集 点列{a1 , a2 , a3 , a4 ,…} a1 = (a11, a12, a13, … ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, … , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, … ,a3n) … … 注：对无限维空间不一定成立