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学案67 二项分布及其应用
导学目标: 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题.
自主梳理
1.条件概率及其性质
(1)设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
(2)条件概率具有的性质:
__________________;
如果B和C是两个互斥事件,则
P(BC|A)=________________.
2.相互独立事件
(1)设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B____________.
(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=______,
P(AB)=________________=________________.
(3)若A与B相互独立,则________________,________________,________________也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则________________.
3.二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布.记作____________.
自我检测
1.两人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为,,则密码被译出的概率为( )
A.0.45 B.0.05 C.0.4 D.0.6
2.(2011·三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量X服从二项分布X~B,则P(X=2)等于( )
A. B. C. D.
4.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
5.(2011·临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,在5次测量中至少3次出现正误差的概率是( )
A. B. C. D.
探究点一 条件概率
例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件.试求:
(1)第一次取到不合格品的概率;
(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.
变式迁移1 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问:
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?
(2)从2号箱取出红球的概率是多少?
探究点二 相互独立事件
例2 (2011·宁波模拟)甲、乙两名射击运动员,分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求
(1)两人都射中的概率;
(2)两人中恰有一人射中的概率;
(3)两人中至少一人射中的概率;
(4)两人中至多一人射中的概率.
变式迁移2 甲、乙、丙三人分别独立做一道题,甲做对的概率是,三人都做对的概率是,三人全做错的概率是.
(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率.
探究点三 独立重复试验与二项分布
例3 (2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落,小球
在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A);
(2)在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A袋中小球的个数,试求ξ=3的概率.
变式迁移3 粒子A位于数轴x=0处,粒子B位于数轴x=2处,这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位,设向右移动的概率为,向左移动的概率为.
(1)求4秒后,粒子A在点x=2处的概率;
(2)求2秒后,粒子A、B同时在x=2处的概率.
1.一般地,每一个随机试验都在一定的条件下进行,而这里所说的条件概率,则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上,再加上一定的条件),求另一事件在此条件下发生的概率.求条件概率,必须理解条件概率的定义及公式,公式中的P(AB)是指事件A、B同时发生的概率.
2.一般
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