机械动力学第三章——多自由度振动-拉格朗日方程解读.ppt

多自由度系统振动 姓　名: 何江波 学　院: 机械工程学院 邮　箱：445875183@ * 教学内容 拉格朗日方程 多自由系统的无阻尼自由振动 * 拉格朗日方程 * m1 m2 k3 k1 k2 F1(t) F2(t) m3 k4 k5 k6 F3(t) x 对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。 图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统动力学方程。AB＝2L 拉格朗日方程 * 单自由度系统受迫振动的动力方程： m k c x 0 m 对于多自由度系统，能否从能量入手建立动力方程？ 动能：T，势能：V 拉格朗日方程 * 1736年1月25日生于意大利西北部的都灵, 1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。 他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 为变分法奠定了理论基础。 他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。　　 1766他应邀去柏林，居住达20年之久.在此期间，他完成了《分析力学》(1788出版)一书， 这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。 书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。 拉格朗日方程 先看一个例子：图示双摆，质量m1， m2在平面摆动。 因此，只有两个坐标独立。 广义坐标： L1 L2 x y m1 m2 可以取四个直角坐标 来描述系统的运动。 但这四个直角坐标不独立，有： 能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。 本例中，可选 作为广义坐标； 也可选 作为广义坐标。 * 拉格朗日方程 * 拉格朗日方程（ Lagrange 方程）: 应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤： 1、确定系统的广义坐标；2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能；3、给出系统的拉格朗日函数；4、确定系统的广义力；5、拉格朗日函数、广义力带入Lagrange方程 广义坐标: ；拉格朗日函数: L＝T-V； 动能: ； 势能(包括重力势能和弹性势能): ； 广义力： 拉格朗日方程 * 单自由度系统受迫振动的动力方程： k c x m 应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤： 1、广义坐标 x 2、动能，势能： 3、拉格朗日函数： 4、系统的广义力： 5、拉格朗日函数、广义力带入 Lagrange方程： 拉格朗日方程 * x 图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统动力学方程。AB＝2L 1、选定广义坐标 x，θ 质量块速度为：均质杆转动速度为： 均质杆质心的速度为： 2、动能和势能分别为： 拉格朗日方程 * 4、广义力： 5、建立系统动力学方程： x 3、拉格朗日函数 拉格朗日方程 * m1 m2 k3 k1 k2 F1(t) F2(t) m3 k4 k5 k6 F3(t) 对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。 拉格朗日方程 * m1 m2 k3 k1 k2 F1(t) F2(t) m3 k4 k5 k6 F3(t) 对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。 1、选定广义坐标 x1， x2， x3 2、动能和势能分别为： 拉格朗日方程 * 5、建立动力学方程： 4、广义力：F1， F2， F3 3、拉格朗日函数 拉格朗日方程 * 其中，[m]，[k]分别为质量矩阵，刚度矩阵。 [k]和[F]为位移向量和力向量。 如果考虑阻尼，则还会存在阻尼矩阵[c]，则动力学方程为： 谢 谢 * * *