极坐标与参数方程(精简版)解读.doc

2016届高三文数佛一模复习之《选考：选修4-4极坐标与参数方程》 （整理人： 胡正良 金莹） 一、极坐标 【备考知识梳理】 1．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点叫做极点；自点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．(2)极坐标：设是平面上的任一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为.有序数对称为点的极坐标，记作．一般地，不做特殊说明时，我们认为，可取任意实数．的两点的距离可表示为 2．极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为和），于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点 直角坐标 极坐标 互化公式 确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2． (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．(3)直角坐标化为极坐标的步骤①运用 在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．(4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．.求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．曲线的极坐标方程的应用解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．1．参数方程的意义[来源:学科网] 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)． 设是直线上的任一点，则表示有向线段的数量． (2)圆的参数方程 (为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程为 (为参数)． 双曲线的参数方程为 (为参数)． 抛物线的参数方程为 (为参数)． 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线． 2.直线的参数方程及应用 根据直线的参数方程的标准式中的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长； (2)定点是弦的中点?； (3)设弦中点为，则点对应的参数值(由此可求及中点坐标)． 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程． 化参数方程为普通方程的方法 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围这一点最易忽视． ．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)．若为直线上两点，其对应的参数分别为，线段的中点为，点所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到： (1) ；(2) ；(3) ；(4) . 中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求，的极坐标方程； （Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. [来源:Z§x 形式的直线过原点。 【2015年Ⅱ】在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I）求与交点的直角坐标； （II）若