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高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换
一、知识要点:
1.正弦、余弦、正切函数图象和性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图象
定义域 值域
当时,
时,
当时,
当时,
周期性 是周期函数,最小正周期 是周期函数,最小正周期 奇偶性 奇函数,图象关于原点对称 偶函数,图象关于轴对称 奇函数,图象关于原点对称 单调性 在
上是单调增函数
在上是单调减函数 在上是单调增函数
在上是单调减函数 在
上是单调增函数
对称轴 对称
中心 2.利用“五点法”作函数(其中)的简图,是将看着一个整体,先令列表求出对应的的值与的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。
3.研究函数(其中)的单调性、对称轴、对称中心仍然是将看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期
4.图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。
二.基础练习
1. 函数的最小正周期T= .
2.函数的最小正周期是 若函数的最小正周期是,则a=____.
3.函数为增函数的区间是
4.函数的最小值是
5.将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
6.已知简谐运动的图象经过点,则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______.
8.给出下列命题:
①存在实数,使成立;
②函数是偶函数;
③直线是函数的图象的一条对称轴;
④若和都是第一象限角,且,则.
⑤的图象关于点对称;
其中结论是正确的序号是 (把你认为是真命题的序号都填上).
三、例题分析:
题型1:三角函数图像变换
变为了得到函数的图象,可以将函数的图象怎样变换?
式1:将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向左平移个单位,所得图象的解析式是 .
题型2:三角函数图像性质
例2、已知函数 y=log()
⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性; ;⑷判断它的周期性.
变式1:求函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合.;
变式2:函数y=2sinx的单调增区间是
题型3:图像性质的简单应用
例3、已知函数的图象与轴交于点,它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为,,
(1)求函数的解析式;
(2)用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数的图象依次经过哪些变换而得到的。
变式1:如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+)+b.
(Ⅰ)求这段时间的最大温差;
(Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.
变式2:已知函数是上的偶函数,其图象关于点对称,求和的值。
题型4:三角函数综合应用
例4、求下列函数的定义域
(1) (2) (3) .
例5、求下列函数的值域
(1) (2) (3)
例6 若的最小值为 ,
(1)求的表达式;
(2)求使的的值,并求当取此值时的最大值。
1.(2007年福建).已知函数的最小正周期为,则该函数的图象( )
A.关于点对称B.关于直线对称 C.关于点对称D.关于直线对称
2.(2007年江苏卷1).下列函数中,周期为的是( )
A. B. C. D.
3.(07年山东卷文4).要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
4.如果有意义,则的取值范围是
5.(2007年江西卷文2).函数的最小正周期为
6.要得到的图象,只需将函数的图象
7.对于函数,有下列说法:
①最大值为; ②最小正周期为; ③在至少有一个,使得;
④由解得的区间范围即为原函数的单调
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