三角形心的性质.docVIP

三角形外心的性质 　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； 　　（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 　　（3）钝角三角形的外心在三角形外. 　　2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A). 　　3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 　　4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　（1）向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。 　　6：R=abc/4S⊿ABC. 正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。 三角形内心的性质 　　设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心． 　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 　　3、r=S/p． 　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　5、∠BIC=90°+A/2． 　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 　　8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是： 　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　10、（内角平分线分三边长度关系） 　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 　　11、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。三角形垂心的性质 　　设ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．　 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的 　　垂心在三角形外.　 　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；　 　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在ABC的外接圆上。　 　　4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。　 　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。　 　　6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆。　 　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。　 　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。　 　　9、 设O，H分别为ABC的外心和垂心，则BAO=∠HAC，ABH=∠OBC，BCO=∠HCA。　 　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。　 　　11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。　 　　12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。　 　　13、