人教B版 选修1-1 函数的平均变化率(上课用)讲解.ppt

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* 美国康奈尔大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中,青蛙马上就感到了危险, 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中,然后开始慢慢加热水锅。刚开始,青蛙自然悠哉游哉, 毫无戒备。一段时间以后,锅里水的温度逐渐升高,而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险,最后,一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。 如何用数学知识来反映山势的平缓与陡峭程度? H A B C D E Xk Xk+1 X0 X1 X2 y O 例:如图,是一座山的剖面示意图: A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 ; 其中自变量x表示登山者的水平位置,函数值y表示登山者所 在高度。想想陡峭程度应怎样表示? 登山问题 x H A B C D E Xk Xk+1 X0 X1 X2 y O O y x x1 x2 y0 y1 A(x0,y0) B(x1,y1) 选取平直山路AB放大研究 : 若 自变量的改变量 函数值的改变量 直线AB的斜率: D1 X3 H A B C D E Xk Xk+1 X0 X1 X2 y O O y x x0 x1 y0 y1 A(x0,y0) B(x1,y1) O y x x2 x3 y2 y3 C(x2,y2) D1(x3,y3) 直线AB的斜率: 直线CD1的斜率: x 竖直位移与水平位移之比的绝对值越大,即高度的平均变化量越大,山坡越陡;反之,山坡越平缓。 现在摆在我们面前的问题是:山路是弯曲的,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢? 一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段,每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。(举例:地球表面与平面)(微分思想) 也就是说,“线段”所在直线的斜率的绝对值越大,山坡越陡。 注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡,高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值 来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。 函数的平均变化率 已知函数 在点 及其附近有定义, 令 , 则当 时,比值 叫做函数 在 到 之间的平均变化率 思考:(1) △x 、△ y的符号是怎样的? (2)该两变量应如何对应? 理解: 2、 对应性: 若 例1.求函数 在 到 之间的平均变化率 解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为 分析:当 取定值, 取不同数值时, 该函数的平均变化率也不一样. 练习:求函数 在 到 之间的平均变化率 *

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