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二维纳米级聚合物领域的有限元分析
兰纳-琼斯势化学键是由化学键建模元素。兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯进一步,在整个变形过程中观察到聚合物链迁移, 纳米级孔隙,孔隙聚结。
在整个变形的聚合物θ以及二面角Ф，正如图1所示。化学键的变形包括键的延伸（化学键键长r的变化），键角的弯曲（键角θ的变化）以及二面角的扭转（二面角Ф的变化）。有时候还需要加一些附加条件来表示分子结构和分子的变形过程。在二维数值模型中，只需要对键的延伸与键角的弯曲进行讨论。
势能的最简单的表达式与键延伸谐波函数相关。键延伸的谐波函数提出了键的伸长或者缩短与恢复力之间的线性关系。这个势能的表达式如下所示：
这里r0是两个原子之间的初始距离而kr是键的刚性程度。从而恢复力与键延伸之间的关系可以推出如下关系式：
表达势能的另一种改进形式是莫尔斯势能表达式，可以这么来表达：
总结上述的各个式子，键长增长与恢复力之间的关系可以用下列式子表示：
图2表示的是来源于莫尔斯势能的力与位移之间的关系。这是一条非线性的曲线。键额刚性程度kr是这条曲线的斜率，从这个可以体现出键的长度的变化情况。如果键长的增长比较小，恢复力-键场增加的曲线大约呈线性变化。在处理谐波势能与莫尔斯势能关系是，如果键的应变很小也可以得到类似的结论。随着键的应变的扩大，莫尔斯势能就会变得越加的准确。莫尔斯势能的表达式最初是由量子力学推导而来的，但是反过来它有成了支持量子力学的一个例证。
谐波势能通常能够用来描述分子力学中两个临近化学键的交互作用。它提供了回复过程中弯矩和弯曲角度之间的关系。正如下面式子给出的关系：
在上式中θ0是平衡键角。弯矩和弯曲角度的关系可以写成如下关系式：
2.3分子间相互作用
兰纳-琼斯兰纳-琼斯
在此处ε表示势阱的深度，σ表示在零势能距离时两个非键合的原子或者单体之间的距离。两个非键合的原子或者单体之间的兰纳-琼斯势能力（吸引力或者排斥力）可以表示为：
2.4二维纳米尺度下的高聚物场的有限元模型
有限元模型的设立考虑了两种类型的影响因子：包括化学键因子和兰纳-琼斯因子。
2.4.1 化学键元
在图3中显示了标准的碳氢化合物高聚物的分子结构。基于恢复力和力矩的本质作用，通过弹性连接构成了以共价键链段为模型的弹性棒。弹性棒能够传递恢复力；而弹性连接是恢复弯曲的基础所在。在图中的链被划分为化学键因子（图中以虚线标注）。每一个因子有一个弹性棒以及两个弹性连接组成，这两个弹性连接分布在每个弹性因子的两端。化学键因子的拉伸刚度由恢复力与键延伸之间的关系所确定，这在之前的等式中已经提出。同时，之前也推出了共价键的抗弯刚度与弹性接头的抗弯刚度是相等的。
在图4中显示了化学键因子的节点力和位移。在图中展示了在每一个节点有三个节点力：对于i分别是Fxi，Fyi和Mi，对于j分别是Fxj，Fyj和Mj；每一个节点有三个节点位移：对于i有ui，vi和θi，对于j有uj，vj和θj。那么节点力的增量和节点位移的增量在x方向的关系是：
上述kr表示延伸刚度。如果在这里引入谐波势能的概念，kr表示先前提到的延伸刚度；如果这里引入莫尔斯势能，那么kr则表示恢复力与键延伸曲线的斜率，正如图2中的曲线那样。
假设节点i和j的键刚度为kθi和kθj，在键中点处的键刚度为2kθi和2kθj。节点弯矩增
在这里ΔθL可以表示为以下式子（其中L表示为因子的长度）：
根据静力平衡条件,节点力在y方向增量
结合之前推出的等式，可以得到节点力与节点增量之间的关系：
因此因子的刚度矩阵可以写成如下式子：
2.4.2 兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯
上述F值表示两个非键合原子之间的 兰纳-琼斯Δ是一个小扰动项，用来避免刚度矩阵的奇异性一个小扰动项更换的负刚度可能会产生错误数值计算兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯兰纳-琼斯如果采用莫尔斯势能化学键的元是一个非线性元素。-琼斯元是高度非线性的ΔFk，那么第k次的节点位移增量为ΔUk。
第一步：计算出节点位移增量ΔUk的式子为：
第二步：计算节点位置：
第三步：计算实际加载力ΔFk。无论用谐波形式的能量，还是莫尔斯能，节点力都能够得以计算出来。减去轴节力之前节点力的加载步之后加载步骤,一个增量轴节的力量。减去之前的节点力加载从加载后一步一步,一个派生实际的增量，第k次的节点位移增量的ΔUk是可以接受的，反之则是不能接受的。必须采取别的方法
第五步：弛豫过程。令，并计算其结果。重复步骤2到5，直到满足条件：
3高聚物邻域的纳米元分析
3.1高聚物场的产生
在图六中显示了一条简单的高聚物链段，该链段是随机排列的。开始单体是随
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