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回归分析的基本思想及其初步应用2016概要
* 残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域; 对于远离横轴的点,要特别注意。 身高与体重残差图 异常点 错误数据 模型问题 几点说明: 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。 样本决定系数 (判定系数 R2 ) 1.回归平方和占总偏差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 R2 ?1,说明回归方程拟合的越好;R2?0,说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方,即R2=(r)2 显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越好。 在线性回归模型中,R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。 R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1,表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强)。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,则可以通过比较R2的值 来做出选择,即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。 总的来说: 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的能力。 我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是 1 354 总计 0.36 128.361 残差变量 0.64 225.639 随机误差 比例 平方和 来源 表1-3 从表3-1中可以看出,解释变量对总效应约贡献了64%,即R2 0.64,可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”,而随机误差贡献了剩余的36%。 所以,身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。 我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是 例2、在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为: 求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。 价格x 14 16 18 20 22 需求量Y 12 10 7 5 3 解: 练习、在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为: 求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。 价格x 14 16 18 20 22 需求量Y 12 10 7 5 3 列出残差表为 0.994 因而,拟合效果较好。 0 0.3 -0.4 -0.1 0.2 4.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4 例2:一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程 解:1)作散点图; 从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。 解: 令 则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图 x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合 x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.19 4.745 5.784 2) 用 y=c3x2+c4 模型,令 ,则y=c3t+c4 ,列出变换后数据表并画出t与y 的散点图 散点并不集中在一条直线的附近,因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。 t 441 529 625 729 841 1024 1225 y 7 11 21 24 66 115 325 残 差 表 编号 1 2 3 4 5 6 7 x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 e(1) 0.52 -0.167 1.76 -9.149 8.889 -14.153 32.928 e(2) 47.7 19.397 -5.835 -41.003 -40.107 -58.268 77.965 非线性回归方程 二次回归方程 残差公式 在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题:对于同样的数据,有不同的统计方法进行分析,我们要用最有效的方法分析数据。 现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据,他们分别是: 可以利用直观(散点图和残差图)、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。 用身高预报体重时,需要注意下列问题: 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性
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