2014级线面积分习题课.ppt

7.曲线积分和曲面积分的应用: 填空. 积分概念的联系 计算上的联系 理论上的联系 Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 8. 计算 解法2 思考题解答: 10. 计算曲面积分 14. 设 15. 设 C 为沿 16. 设 17. 已知曲面壳 18. 计算曲面积分 18. 19. 利用Gauss 公式计算积分 (1) (2) 中? 是球面 解: 利用对称性 用重心公式 11. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为 则 则 12. 计算 其中L为不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 lˉ 所围的区域为 林公式 , 得 13. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 提示: 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 一卦限中的部分, 则有( ). 求此曲面壳在平面 z＝1以上部分? 的 的面密度 质量 M . 解: ? 在 xoy 面上的投影为 故 其中? 解: 利用两类曲面积分的联系, 有 ∴ 原式 = 旋转抛物面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. * * （按积分区域分类） 积分区域 积分区域 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型：对弧长 二型：对坐标 一型：对面积 二型：对坐标 Stokes 公式 高斯公式 格林公式 ? 一.多元函数积分学概况 推 广 推 广 推 广 推 广 线面积分知识点 第一型 (对弧长) 第二型 (对坐标) 两型之间 的关系 标准形式 物理意义 计算方法 相似处 不同处 曲线积分 1.都是化曲线积分为 定积分计算。 2.都要把曲线表示式 代入被积函数。 积分下限 上限 L方向：从A?B 积分下限为起点A的 t 值 上限为终点 B的 t 值 此处下限是? , 上限是?... . 1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较 . L指曲线 AB ⌒ 第一型 (对面积) 第二型 (对坐标) 两型之间 的关系 标准形式 物理意义 计算方法 曲面积分 ? 指空间曲面 ?为有向曲面 . . . 2. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面积分的比较 解决 平面的曲线积分与二重积分的联系 3. 格林公式 L D D L l (逆) (顺) 则有 其中 L 是 D 的整个正向边界曲线. 若： 特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为： 注： (逆) (逆) 问题。 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 例如, 椭圆 所围面积 4. 平面曲线积分的四个等价命题 . 若其中一个成立，另外三个也成立。 等价的意义是： 5. 高斯公式 曲面积分与三重积分的联系 则有 其中 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧. 若： . . . 解决 问题. 6. Stokes 公式 曲线积分与曲面积分的联系 则有 若： 解决 问题. . . ? ? . . . . ⌒ ⌒ 定积分 二重积分 曲面积分 曲线积分 三重积分 曲线积分 其中 1.定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3.三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式 梯度 通量 旋度 环流量 散度 场论初步 或 推广 推广 单项选择题 B C B o x y A(–1,0) B(0,1) C(1,2) 解 类型： I 型曲线积分 计算题1. 其中， . . . ⌒ ⌒ ⌒ o x y 1 4 A(1,1) B(2,4) C (1,4) 解 类型： II 型曲线积分 方法 I： 直接计算. 1 . . ⌒ ⌒ 也可以用下面的方法： 2. o x y 1 4 A(1,1) B(2,4) C(1,4) D 解 类型： II 型曲线积分 贴补，用格林公式. 1 . 先 x . . ⌒ 2 方法 II： o x y z 4 解 类型： I 型曲面积分 3 Dxy 用平面极坐标 . . . o x y z 解 类型： II 型曲面积分 4. ?由第一卦限和第二卦限中的锥面?1和?2构成. 其上侧在yOz平面的投影为负； 其上侧在yOz平面的投影为正.