利用三角形的主要线段构造全等三角形讲解.ppt

如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 复习： 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为△ABC的中线， 必有结论： A B C D E 1 2 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。 △ABD≌△ECD， ∠1=∠E， ∠B=∠2， EC=AB，CE∥AB。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 方法一： A B C D E 必有结论： 在AB上截取AE=AC，连结DE。 △ADE≌△ADC。 ED=CD， 3 * 2 1 ∠AED=∠C， ∠ADE=∠ADC。 方法二： A B C D F 延长AC到F，使AF=AB，连结DF。 必有结论： △ABD≌△AFD。 BD=FD， 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： 3 * 2 1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ∠B=∠F， ∠ADB=∠ADF。 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： A B C D M N 方法三： 作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。 必有结论： △AMD≌△AND。 DM=DN， 3 * 2 1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 AM=AN， ∠ADM=∠AND。 （还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN） 1.在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分∠BAC. 求证：AB+BD=AC A B C D E 证明： 在AC上截取A E=AB，连结D E ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠1＝∠2, 在△ABD和 △AED中 ﹛ ∠1＝∠2 A B=AE A D=AD ∴ △ABD≌ △AED ∴BD=DE, ∠B＝∠3 ∵ ∠3= ∠4+ ∠C ∵ ∠B＝2∠C ∴ ∠3=2∠C ∴ 2∠C = ∠4+ ∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AE+EC=AC ∴ AB+BD=AC 1 2 3 4 ∴ ∠ C ＝∠4 截长法 例1 １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=AC A B C D E 延长AB到E，使得AE=AC 连接ED 证明： 补短法 例1 E １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=AC 例1 延长DC到E，使得E=AC 连接EA 证明： 练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B A B C D E 1 2 2 1 证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 ∵ AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△AED和△ACD中 ∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证） AD=AD（公共边） ∴△AED≌△ACD（S.A.S） 3 ∴∠B=∠4（等边对等角） 4 * ∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) 又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知） ∴EB=DC=ED（等量代换） ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ∴∠C=2∠B（等量代换） ED=CD（全等三角形的对应边相等） 练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B A B C D F 1 2 证明: 延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 ∵ AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ AB=AC+CD，CF=CD（已知） ∴ AB=AC+CF=AF（等量代换） ∵ ∠ACB= 2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ∴∠ACB=2∠B（等量代换） 3 2 1 * 在△ABD和△AFD中 ∵ AB=AF（已证） ∠1=∠2（已证） AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△AFD（S.A.S） ∴ ∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等） ∵ CF=CD（已知） ∴∠B=∠3（等边对等角） 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 小结： （3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。 （1）在AB上截取AE=AC，连结DE。 （2）延长AC到F，使AF=AB，连结DF。 A B C D E F M N 必有结论：△ADE≌△ADC。 必有结论：△