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曲靖一中高考复习质量监测卷理科数学参考答案
第卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
第卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
题号 13 14 15 16 答案 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.,
又,
∴,
∴,
∴.
∵,∴.………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)∵,
∴.
.…………………………………………………………………………(8分)
又为三角形内角,
∴,,
∴,
∴,
∴的面积.……………………………………………(12分)
18.12分)
解:()设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为xy,z,
依题意得解得
所以学生小张选修甲的概率为0.25.……………………………………………………(4分)
()若函数为R上的偶函数,则时,表示小张选修三门功课或三门功课都没选,
∴
,
∴事件A的概率为0.24()依题意知,2则ξ的分布列为ξ 0 2 0.24 0.76 ∴ξ的数学期望为12分12分)
(Ⅰ)证明:∵,N是BC的中点,
∴.
又,
∴四边形是平行四边形,
∴.
又ABCD为等腰梯形,,
∴,
∴四边形是菱形,
∴,
∴,即.
∵平面⊥平面,平面平面,
∴平面.
又平面,∴.……………………………………………………(6分)
(Ⅱ)解:∵平面,
同理平面ABC.
如图1建立空间直角坐标系,
设,则,,
,,
则,.
设平面的法向量为,
.
设平面的法向量为,
,
设二面角的平面角为,
∴,
∴二面角的余弦值为.………………………………………………(12分)
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题意得:,,
∴.
又椭圆经过点,
则,
解得,
所以,
∴椭圆C的标准方程为.……………………………………………………(3分)
(Ⅱ)当时,即直线,
依题意知若轴时,不存在,所以不合题意.
设点的坐标分别为,,
由得,
,得,
,,
所以.
又点O到直线的距离为,
∴的面积.
令,得,
则,
当且仅当,即时等号成立,此时且满足,
所以的最大值为.……………………………………………………………(6分)
(Ⅲ)由得,
,,
可得.…………………………………………………(7分)
由向量加法得,
∵,
∴.
①当时,点关于原点对称,
则,此时不构成平行四边形,∴舍去;
②当时,点不关于原点对称,
设点,则由得
,
即………………………………………………………………………(9分)
由点在椭圆C上,得,
化简得.
∵,
∴.①
又,
∵得,②
联立①、②得,
∵,∴,即且.
综上:且.……………………………………………………………(12分)
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:因为,
所以.
令,得或.
又在上递增,在上递减,
所以.……………………………………………………………(2分)
(Ⅱ)解:因为,
又函数在定义域上是单调函数,
所以或在上恒成立.
若在上恒成立,
即函数是定义域上的单调递增函数,
则在上恒成立,
由此可得.…………………………………………………………………………(4分)
若在上恒成立,
即函数是定义域上的单调递减函数,
则在上恒成立,
因为在上没有最小值,
所以不存在实数使在上恒成立.………………………………(6分)
综上所述,实数的取值范围是.…………………………………………(7分)
(Ⅲ)证明:在(Ⅰ)的条件下,当时,
,
则
显然当时,
所以在上单调递增,
所以,
即在上恒成立.
令,……………………………………………………………(10分)
则有,
即恒成立.……………………………………………………(12分)
22.(本小题满分10分)【选修4?1:几何证明选讲】
证明:(Ⅰ)∵,∴∠PDG=∠PGD.
∵PD为切线,∴∠PDA=∠DBA.
∵∠PGD=∠EGA,∴∠DBA=∠EGA,
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,
由三角形内角和,得∠BDA=∠PFA.
∵AF⊥EP,∴∠PFA=90°,∠BDA=90°,
∴AB为圆的直径.………………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)如图2,连接BC,DC.
∵AB是直径,∴∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,
从而Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA.
∵∠DCB=∠DAB,∴∠DCB=∠CBA,∴DC//AB.
∵AB⊥EP,∴DC⊥EP,∠DCE为直角,
∴ED为直径.
由(Ⅰ)知AB为圆的直径,∴ED=AB.………………………
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