3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示2-1案例.ppt

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 高二数学组 刘远林 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题． 理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 【课标要求】 【核心扫描】 空间向量基本定理．(重点) 用基底表示已知向量．(难点) 在不同坐标系中向量坐标的相对性．(易错点)  1． 2． 3． 1． 2． 3． 空间向量基本定理 定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝___________，其中{a，b，c}叫做空间的一个_____，a，b，c都叫做_______． 试一试：空间的基底是唯一的吗？ 提示　由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一． 自学导引 1． xa＋yb＋zc 基底 基向量 空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底． (2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz. 2． xe1＋ye2＋ze3 x，y，z p＝(x，y，z) 试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？ 基底的选择 为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夹角已知或易求． 选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在该基底下的坐标．同一基底下的向量运算可以简化为坐标进行．一般情况下，选的基底是单位正交基底． 空间向量的正交分解及其坐标表示的理解 (1)建立空间直角坐标系O－xyz.分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量i，j，k，则{i，j，k}叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量． 名师点睛 1． 2． (2)在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可记作a＝(a1，a2，a3)． (3)空间任一点P的坐标的确定，如图所示，过点P作面xOy的垂线，垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z|＝PP′. 空间中一点P(a，b，c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，－c)，P2(a，－b，c)，P3(－a，b，c)，P4(a，－b，－c)，P5(－a，b，－c)，P6(－a，－b，c)，P7(－a，－b，－c)． 题型一　基底的判断 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． [思路探索] 可先用反证法判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基底． 【例1】 解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面， 规律方法 判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．判断a，b，c三个向量是否共面，常用反证法，即判断三个向量是否满足a＝λb＋μb，若满足则共面，若不满足则不共面． 以下四个命题中正确的是________． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量； ③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底． 解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 答案　②③ 【变式1】 题型二　　用基底表示向量 【例2】 规律方法 (1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的； (2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的