图形复习五年级数学概要.doc

直线型面积计算（1） 对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质： 如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接、． ∵， ∴． 同理，，， ∴（平方厘米）． ［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴个面积相等的三角形； ⑵个面积相等的三角形； ⑶个面积相等的三角形． ⑴如右图，、、分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了个面积相等的三角形； ⑵如右图，、是的三等分点，、分别是对应线段的中点；答案不唯一； ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考． 如图，三角形的面积为，其中，，三角形的面积是多少？ 连接． ∵，∴，． 又∵，∴． 如图，三角形中，，，三角形的面积是平方厘米，三角形 的面积是多少？ ∵，∴,; 又∵,∴,（平方厘米）． ［铺垫］如图，三角形被分成了甲、乙两部分，，，，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？ 连接． ∵,， ∴,． 又∵, ∴, ∴, ∴． ［拓展］如图，在三角形中，厘米，厘米，、分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？ ∵是的中点, ∴， 同理， ∴（平方厘米）． 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积． 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）． 连接、． ∵， ∴． 同理可得其它，最后三角形的面积． ［拓展］如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积． 连接.设， ∵， ∴, 又∵, ∴， 同理， ∴ 连接，同理 ∴， （平方米）． ［拓展］如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？ 连接对角线． ∵是长方形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． ［拓展］如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积． 连接，． 因为，，所以． 因为，，所以，所以．因为，所以长方形的面积是平方厘米． （第八届小赛如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是．求图中阴影部分的面积． 因为乙、丙两个三角形面积相等，底．所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积．从而阴影部分的面积（平方厘米）． ［拓展］如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比． 因为，，所以，． 因为，所以， 所以，． 同理可得，，． 因为，所以空白部分的面积，所以阴影部分的面积是． ，所以阴影面积与空白面积的比是． 如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．（我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．） ∵在平行四边形中，边上的高， ∴（也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）． 同理，，∴平行四边形与面积相等． ［拓展］如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接.（我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起）． ∵在正方形中，边上的高， ∴（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半） 同理，． ∴正方形与长方形面积相等. 长方形的宽（厘米）． 如图，正方形和正方形，且正方形边长为厘米，求图中三角形的面积为多少平方厘米？ 连接． ∵，都是正方形的对角线 ∴，∥． ∴与同底等高，(平方厘米) ． （年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接（见右上图），可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求