求数列通项公式的十种方法,例题答案详解解读.doc

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若， 则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一：由得则 所以 解法二：两边除以，得， 则，故 因此， 则 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式. 解:由已知得, 化简有,由类型(1)有, 又得,所以,又,, 则 此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法 1.○。 ------------适用于： ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若，则 两边分别相乘得， 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. 解：已知等式可化为： ()(n+1), 即 时， ==. 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出. 练习.已知,求数列{an}的通项公式. 答案：-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为 若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如,其中)型 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列; （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 待定系数法：设, 得,与题设比较系数得 ,所以所以有： 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列， 所以 即：. 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例6已知数列中，，求数列的通项公式。 解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即 解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的…… 练习．已知数列中，求通项。 答案： 2．形如： (其中q是常数，且n0,1) ①若p=1时，即：，累加即可. ②若时，即：， 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列 即： ,令，则,然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： , 令,则可化为.然后转化为类型5来解， iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。 例7已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一（待定系数法）：设，比较系数得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即 解法二（两边