高阶线性方程概论.ppt

第六节 例. 一、概念的引入 2、 的解法 二、n阶常系数齐次线性方程解法 例. 例. 例. 小结 三、降阶法与常数变易法 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第七章 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 解的叠加原理 常数, 则该方程的通解 y =( ). 设线性无关函数 都是 的解, 是任意 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) (89 考研 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 1、定义 第七节 解 受力分析 物体自由振动的微分方程 例: 一弹簧下挂一重物, 使物体具有初始速 度 物体便离开平衡位置O,上下振动. 确定物体的振动规律 欧拉公式 特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 情形一 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 情形二 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 情形三 有一对共轭复根 重新组合 ) ( 2 1 2 1 2 y y i y - = 得齐次方程的通解为 , 1 b a i r + = , 2 b a i r - = 特征根为 , ) ( 1 x i e y b a + = , ) ( 2 x i e y b a - = 解 特征方程为 特征根 例 通解为 2、 特征方程为 解得 , 2 1 2 1 i r ? - = ， 通解为 通解为 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 的通解. 解: 特征方程 特征根: 通解为 例. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: 推广 目录 上页 下页 返回 结束 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 特征方程: 特征根为 则方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求通解为 解 特征方程为 例 特征根为 , 1 1 r - = （1）特征方程; 求通解 （2）求出特征根;（3）写通解. 练 习 题 ??一、求通解 (提示: 线性无关的解) 1.已知齐次线性方程一个解,求与之线性无关的特解 代入(1)式, 得 解出 u(x) 得到 y2 通解为 (注：u(x)中不含常数) 2.已知齐次线性方程的一个解求非齐次线性方程的通解 代入(2)式, 得 则（2）的通解即可求得 求此方程的通解， 3.非齐次线性方程通解求法-----常数变易法 设对应齐次方程通解为 (3) 设非齐次方程通解为 设 (4) (5) 解(4),(5)得c1 , c2代入(3)通解 * * * * *