2.2函数与调和函数的关系案例.ppt

* 第二章 解析函数 §2.2 解析函数与调和函数的关系 §2.2 解析函数与调和函数的关系 一、调和函数 二、共轭调和函数 三、构造解析函数 一、调和函数 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 引例 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 使得 即 (1) 无旋场 设该力场为 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 一、调和函数 引例 设该力场为 (1) 无旋场 (2) 无源场 散度为零， 无旋无源力场的势函数 满足 特别地，对于平面力场 即 一、调和函数 则称 为区域 D 内的调和函数。 若二元实函数 在区域 D 内有连续二阶偏导数， 定义 且满足拉普拉斯 ( Laplace ) 方程： 注 泊松 ( Poission ) 方程 P36 定义 2.3 ( 算子与 算子) 同理 证明 由 解析， 有 (?) (?) (?) 证明 由 解析， 同理 有 (?) (?) (?) P36 定理 2.3 一、调和函数 二、共轭调和函数 设函数 及 均为区域 D 内的调和函数， 定义 函数 在区域 D 内解析的充要 定理 条件是： 在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。 则称 v 是 u 的共轭调和函数。 注意 v 是 u 的共轭调和函数 u 是 v 的共轭调和函数。 且满足 C - R 方程： P37 定义 2.4 P37 定理 2.4 三、构造解析函数 问题 已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )， 使 解析，且满足指定的条件。 注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。 方法 偏积分法 全微分法 构造解析函数 的依据： 依据 (1) u 和 v 本身必须都是调和函数； (2) u 和 v 之间必须满足 C - R 方程。 方法 偏积分法 三、构造解析函数 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) (1) 由 u 及 C - R 方程 (2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得： 其中， 已知，而 待定。 (3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数 得到待定函数 v 的两个偏导数： (A) (B ) (C ) C 方法 三、构造解析函数 全微分法 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) (1) 由 u 及 C - R 方程得到待定函数 v 的全微分： (2) 利用第二类曲线积分(与路径无关) 得到原函数： C0 C1 C2 其中， 或 P39 故 是调和函数。 由 解 (1) 验证 为调和函数 P38 例2.6 修改 解 由 由 (2) 求虚部 。 方法一： 偏积分法 解 (2) 求虚部 。 由 方法二： 全微分法 C1 C2 解 (3) 求确定常数 c 根据条件 将 代入得 即得 故 是调和函数。 由 解 (1) 验证 为调和函数 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ P40 例2.8 由 由 解 (2) 求虚部 。 方法一： 偏积分法 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ 由 方法二： 全微分法(利用第二类曲线积分) C1 C2 验证 为调和函数，并求以 例 的解析函数 使得 为实部 ▲ 解 (2) 求虚部 。 由 方法三： 全微分法(利用“反微分”法) 验证