欧拉法微格教学课件解读.ppt

* 第五章常微分方程数值解法 数值分析及计算软件 * 常微分方程数值解法——欧拉法 数值分析及计算软件 5.1 引言 在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。 因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。 * * 1. 一阶常微分方程的初值问题 注：若 f 在 D = {a ? x ? b , | y |+?} 内连续，且关于 y满足利普希茨(Lipschitz)条件： 即，?实数 L 0，使得 |f (x，y1) – f (x，y2)| ? L|y1 – y2| (5.0-2) 则(5.0-1)的连续可微解 y(x) 在[a，b]上唯一存在。 * 2. 初值问题的数值解 称(5.0-1)的解 y(x) 在节点 xi 处的近似值 yi ? y(xi) a x1 x2 ... xn = b. 为其数值解，其求解方法称为数值方法。步长：hi = xi+1 – xi。 注： ① 等距节点: xi = a + ih，h = (b – a)/n ，i=0,1，…。 ② 从初始条件 y(a) = y0 出发，依次逐个计算 y1，y2，…，yn 的值，称为步进法。 ③ 单步法：计算yn+1时，只用到前一个点的值yn； 多步法：计算yn+1时，用到前多个点的值yn，yn-1，…。 * 5.2 欧拉法(Euler) 1.欧拉法： x0 x1 向前差商近似导数 记为 亦称为欧拉折线法 * 例1: 用欧拉法求初值问题 当h = 0.1时在区间[0, 0.5]上的数值解。 方程真解： n xn yn y(xn) ?n = y(xn) - yn 0 0 1.0000 1.0000 0 1 0.1 1.1000 1.0954 0.0046 2 0.2 1.1918 1.1832 0.0086 3 0.3 1.2774 1.2649 0.0125 4 0.4 1.3582 1.3416 0.0166 5 0.5 1.4351 1.4142 0.0209 * 2. 单步法的局部截断误差与阶 初值问题(5.0-1)的单步法一般形式： 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，称Ti+1 = y(xi+1) ? yi+1 为显式单步法的局部截断误差。 显式单步法一般形式： 定义 　　　若显式单步法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该方法具有p 阶精度。 * 欧拉公式的精度分析： xn xn+1 Pn Pn+1 y-=y(x) 由Taylor展开式： * 后退Euler公式，隐格式 迭代法求解隐格式： 2.后退Euler法： 注：类似可证后退Euler格式具有一阶精度。 总结与作业 总结： 1、常微分方程数值解法定义 2、Euler法与后退Euler法 3、局部截断误差与精度 作业： p139 第2题 * Thank you for your attention!