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绝对值的性质及化简
【绝对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
注意:取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.
绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;的绝对值是.
绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.
任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:符号是负号,绝对值是.
求字母的绝对值 ② ③
利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小.
绝对值非负性:|a|≥0如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.
例如:若,则,,
绝对值的其它重要性质(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即,且;(2)若,则或;
(3);;(4);()||a||b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|
的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.
的几何意义:在数轴上,表示数.对应数轴上两点间的距离.】(1)解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号,转化为一般代数式类型来解;(2)证明绝对值不等式主要有两种方法:A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明:换元法、讨论法、平方法;B)利用不等式:|a|-|b||a+b|≦|a|+|b|,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。】|x-2|+|y-3|=0,求x+y的值。
解:由绝对值的非负性可知x-2= 0,y-3=0; 即:=2,y =3;
所以绝对值的非负性问题,则必有,,
【例】若,则 。
总结:若干非负数之和为0, 。【】,则
【】.
其中、满足.
(二)绝对值的性质
【例】若a<0,则4a+7|a|等于( )
A.11a B.-11a C.-3a D.3a
【例】一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是( )
A.1,0 B.正数 C.非正数 D.非负数【例】已知|x|=5,|y|=2,且xy>0,则x-y的值等于( )
A.7或-7 B.7或3 C.3或-3 D.-7或-3【例】若,则x是( )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数【例】已知:a>0,b<0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是( )
A.1-b>-b>1+a>aB.1+a>a>1-b>-b
C.1+a>1-b>a>-bD.1-b>1+a>-b>a【例】已知a.b互为相反数,且|a-b|=6,则|b-1|的值为( )
A.2 B.2或3 C.4 D.2或4【例】a<0,ab<0,计算|b-a+1|-|a-b-5|,结果为( )
A.6 B.-4 C.-2a+2b+6 D.2a-2b-6【例】若|x+y|=y-x,则有( )
A.y>0,x<0 B.y<0,x>0 C.y<0,x<0 D.x=0,y≥0或y=0,x≤0
【例】已知:x<0<z,xy>0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值( )
A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号【例1】给出下面说法:(1)互为相反数的两数的绝对值相等;(2)一个数的绝对值等于本身,这个数不是负数;(3)若|m|>m,则m<0;(4)若|a|>|b|,则a>b,其中正确的有( )
A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)
【例1】已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________
【】|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2,求|a+d|的值。
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