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函數方程講義(二) 張幼賢提供 一、線性遞迴方程式： §1 一階線性遞迴方程 定義：可以表示為, 其中, , 及b為給定常數的方程式稱為線性遞迴方程。 定理：若f(1)=a，則一階線性遞迴方程 f(n+1) = c f(n)+b (1) 其中a，b，c為常數的解為 (2) 【解】： (Ⅰ)首先我們來證明c≠1的情形，我們將(1)式改寫為 比較它和(1)的係數，可知 cp - p = b，即 這表示為一個以c為公比的等比數列。首項為 ，為第項，所以 (3) (當 c≠1) (Ⅱ)若c = 1，則(1)式為f(n+1)=f(n)+b 所以是一各以b為公差，f(1) = a為首項的等差數列；因而 f (n)= f (1)+(n-1)b = a+( n -1)b Example 1：設f為定義在所有正整數上的實函數，f (1) = 6且 2f (n+1) - 3f (n) = 6 (4) 試求f (n)=？ 【解】：將(4)式改寫為一階線性遞迴方程的形式， 由公式(2)可知 (其中 a=6, , b=3) 【註】一個一階線性遞迴方程式的解，不但依賴方程式本身，而且還依賴於初 始條件。 方程式(1)的解f(n)，可以看成是一個遞迴數列的通項公式。因此，我們將依數列的分類，把方程式(1)的解f(n)分成，常數，無界，有極限，振動4種類型： 若f(1) = a，則一階線性遞迴方程(1)的解f(n)與係數a，b，c的關係如下： 當c≠1且或c = 1且b = 0時，f(n)為常數函數。 當且或c = 1且b≠0時，f(n)隨n的增加其絕對質無界。(i.e. ) 當且時，則。 當c = -1且時，f(n)是以常數為振幅之振動。 【證明】：當f(1) = a，由(3)可知 ，當c≠1 (5) 且f(n)=a+(n-1)b ，當c = 1 。 (6) 因此，當c≠1，時，為一常數函數且當c = 1，b = 0時，f(n) = a亦為一常數函數。 當時，將隨n的增大而趨近於無限大，故當 a≠(i.e.)，而為一定數，所以由(5)式可知也隨n的增大而趨近於無限大(cf.(5))；當c = 1且，由(6)可知也隨n的增大而趨近於無限大。 當時，將隨n的增大而趨近於0，所以當(i.e.) 且為一常數，由(5)可知，f(n)可隨n的增大而趨於。 當c = -1，且a≠時，由(5)可知 所以f(n)是交錯的值為a或b-a。 【註】：通常若 as ，d為一常數，我們稱這種遞迴方程為穩 定的遞迴方程。由上述的(c)可知，只有在或為常數函數時，(1)才是穩定的遞迴方程。 Example 2 : 試解變係數的一階遞迴方程式 且 f(2)=3， n≧2 (1) 【解】：以n+1代(1)式中的n可得 (n+1)f(n+1)-nf(n+2)=1 (2) (2)-(1): (n+1)f(n+1)-nf(n+2)-nf(n)+(n-1)f(n+1)=0 nf(n+2)-(n+1)f(n+1)=(n-1)f(n+1)-nf(n) 將上式兩端加f(n+1)可得 (3) 在(1)式中，取n=2，可得 。 所以由(3)式可知： f(n+1)-f(n)=f(3)-f(2)=5-3=2。 這表示是以f(2)=3為首項，公差為2的等差數列。是這個數 列的第n-1項。因此， f(n)=3+(n-2)2=2n-1，。 *易證驗f(1)=1，也滿足(1)式，所以 f(n)=2n-1, . §2. 二階線性遞迴方程式