条件概率和其性质.docVIP

1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝. (3)条件概率的性质 条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1. 如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)＝P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性 (1)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立． (2)如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立．3．二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k (k＝0,1, 2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p) ，并称__为成功概率． 若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 1.区分条件概率P(B|A)与概率P(B) 它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P(B)是指在整个样本空间Ω的条件下事件B发生的可能性大小，而条件概率P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小．2．求法：(1)利用定义分别求P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝； (2)先求A含的基本事件数n(A)，再求在A发生的条件下B包含的事件数即n(AB)，得P(B|A)＝.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】　记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球． P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝， (1)P(A|B)＝＝.(2)P(A|)＝＝， P(A)＝P(AB)＋P(A) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P() ＝×＋×＝. (2011年湖南)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分内)，”则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_____答案：(1)　(2) 1.相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生． 2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则 A、B中至少有一个发生的事件为AB； A、B都发生的事件为AB； A、B都不发生的事件为　； A、B恰有一个发生的事件为A B； A、B中至多有一个发生的事件为A B ∪ 　. 3．互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生． (2012年山东)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)． 【解】　(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D， 由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝， 由于A＝B ＋C ＋ D， 根据事件的独立性和互斥性得 P(A)＝P(B ＋ C ＋ D) ＝P(B )＋P(C)＋P( D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P(D＋P()P()P(D) ＝××＋××＋××＝.(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， 根据事件的独立性和互斥性得 P(X＝0)＝P( )＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝××＝， P(X＝1)＝P(B )＝P(B)P()P()＝××＝，P(X＝2)＝P(C＋ D)＝P(C)＋P( D) ＝××＋××＝， P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××＋××＝， P(X＝4)＝P(CD)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故