标准偏差及相对标准偏差公式.docVIP

标准偏差 出自 MBA智库百科(/) 　　数学表达式： 　　S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 　 六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式 　　设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有　　　　σ1 = li ? X 　　σ2 = l2 ? X 　　…… 　　σn = ln ? X 　　我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 　　 　　 （1） 　　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 　　由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 　　于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ , 即 　　 　　设一组等精度测量值为l1、l2、……ln 　　则　 　　　　 　　　　…… 　　　　 　　通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 　　 　　将上式代入式(1)有 　　 　　　　　(2) 　　式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 　　它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 　　应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 　　　　(2) 　　在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 　　 　　于是, 式(2)可写为 　　　　(2) 　　按式(2)求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 　　数理统计中定义S2为样本方差 　　 　　数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。而式(2)在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为 　　　　(3) 　　令 　　则 　　即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。 　　计算Kσ时用到 　　Γ(n + 1) = nΓ(n) 　　 　　Γ(1) = 1 　　由表1知, 当n30时, 。因此, 当n30时, 式(3)和式(2)之间的差异可略而不计。在n=30～50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n10时, 由于Kσ值的影响已不可忽略, 宜用式(3), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。 标准偏差的最大似然估计 　　将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到 　　 　　　　(4) 　　式(4)适用于n50时的情况, 当n50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。 　　2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。 　　极差用R表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。 　　若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布, 则 　　R = lmax ? lmin 　　概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为 　　　　(5) 　　S3称为标准偏差σ的无偏极差估计, d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数, 其值见表2 　　 　　由表2知, 当n≤15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为 　　　　(5) 　　还可以看出, 当200≤n≤1000时，因而又有 　　　　(5) 　　显然, 不需查表利用式(5)和(5)了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。 　　应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5≤n≤15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R1、, 再由各组极差求出极差平均值。 　　 　　极差平均值和总体标准偏差的关系为