同济大学线代(第六版)新概要.ppt

三、其它结论：定理（P.90定理5） (1)若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．（部分相关，整体相关） 其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． ．（整体无关，部分无关） (2) m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关． 特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关． (3) 设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的． 作业题：P110：10，11（ §3 向量组的秩 矩阵 线性 方程组 有限 向量组 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示 课本P. 88定理4： 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ； 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 矩阵 线性 方程组 有限 向量组 无限 向量组 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列（行）向量组的秩 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示 向量组与自己的 最大无关组等价 向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.86 定理3） 推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)． 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ． 因为 R(B) ≤ R(A, B) R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B) 例：设 证明向量 b 能由向量组 A：a1, a2, a3 线性表示，并求表示式． 解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ． 因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示． 行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 即 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ． 向量 b 能由向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解. 故 例2：证明向量组A与B等价，其中 证： 向量组A, B等价 R(A) = R(B) = R(A, B). 所以 R(A) = R(B) = R(A, B). 故向量组A, B等价. 例3: 设有n×m 矩阵 A = (a1, a2, …, am) ，试证：n 维单 位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条 件是R(A) = n ． 证：因为n 维单位坐标向量组构成的矩阵为En ，所以 n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E) . 显然 R(A, E) =n, 故 R(A)=n. 小结 向量 b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 向量组 B 能 由向量组 A 线性表示 矩阵方程组AX = B 有解 向量组 A 与 向量组 B 等价 课堂练习 1. 把向量 ? 表示成向量 ?1 , ?2 , ?3 的线性组合, 其中 知识结构图 n维向量 向量组 向量组与矩阵的对应 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价 判定定理及必要条件 判定定理 作业 P106：1，2 §2 向量组的线性相关性 回顾：向量组的线性组合 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A