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正四面体的性质:设正四面体的棱长为,则这个正四面体的
(1)全面积????? S全= ;
(2)体积? ??????V=;
(3)对棱中点连线段的长??? d= ;(此线段为对棱的距离,若一个球与正四面体的6条棱都相切,则此线段就是该球的直径。)
(4)相邻两面所成的二面角??? =
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=
(7)外接球半径????? R= ;
(8)内切球半径??? r= .
(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).
直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图,在直角四面体AOCB中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=,OB=,OC=.则
①不含直角的底面ABC是锐角三角形;
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心;
③体积??? V= ;
④底面面积S△ABC=;
⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC;
⑥S2△BOC+S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC
⑦ ;
⑧外接球半径??? R= ;
⑨内切球半径? r=
四面体的性质探究
如果从面的数目上来说,四面体是最简单的多面体如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O,△ABC的面积为S1,△ADC的面积为S2,△BCD的面积为S3,△ABD的面积为S4,二面角A-BC-D为θ1-3,二面角A-DC-B为θ2-3,二面角A-BD-C为θ3-4,二面角C-AB-D为θ1-4,二面角C-AD-B为θ2-4,二面角B-AC-D为θ1-2,则
S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4
S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4
S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4
S4 = S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4 + S3cosθ3-4
2.性质2(类似余弦定理)
S12 = S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4
S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S3S4 cosθ3-4
S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S2S3 cosθ2-3
特别地,当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0,即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二面角(也就是AB、AC、BC两两垂直)时,有S32 = S12 + S22 +S42,
证明:S32 = S3S1cosθ1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4
??????? = S1 S3cosθ1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S3 S4cosθ3-4
??????? = S1(S1 - S2cosθ1-2 + S4cosθ1-4)+S2(S2 - S1cosθ1-2 + S4cosθ2-4)+
??????????? S4(S4 - S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4)
??????? = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
二.正四面体的性质设正四面体的棱长为,则这个正四面体的
(1)全面积????? S全= ;
(2)体积? ??????V=;
(3)对棱中点连线段的长??? d= ;(4)相邻两面所成的二面角???
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=
(7)外接球半径????? R= ;
()内切球半径??? r= .
()正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).
直角四面体的性质直角四面体有下列性质:
如图,在直角四面体AOCB中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=,OB=,OC=.则
①不含直角的底面ABC是锐角三角形;
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心;
③体积??? V= ;
④底面△ABC=;
⑤S2△C=S△BHC·S△ABC;
⑥S2△BOCS2△AOB+S2△AOC=S2△ABC
⑦ ;
⑧外球半径??? R= ;
⑨内切球半径? r=,正方体截去四个三棱锥后,得到一个正四面体若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为,正方体及正四面体的外接球半径分别为R、,正方体的内切球及正四面体的棱切
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