3.函数的单调性(北师大版国家级优质课一等奖).ppt

画出函数f (x)=3x +2的图像，判断它的单调性，并加以证明。 * 1 2 3 4 5 -1 0 6 7 x 8 9 y -2 -3 -4 -5 -6 引例1 函数 的图象是上升的. 我们就说函数 在区间 上是增加的. y o x 1 1 y o x -1 1 y =-x 引例2 函数 的图象是下降的. f(x) =-x 我们就说函数 在区间 上是减少的. f(x) =-x y = x2 O x y 1 · 1 · 此函数在区间 内是减少的，在区间 内是增加的。 引例2 [0, +∞ ) （-∞, 0 ] y 2 4 6 8 10 O -2 x 8 4 12 16 20 24 6 2 10 14 18 22 A 24 对区间A内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2) 图象在区间A逐渐上升 ？ O x A y 区间A内随着x的增大，y也增大 x1 x2 f(x1) f(x2) M N 对区间A内 任意 x1，x2 ， 当x1x2时， 都有f(x1)f(x2) 对区间A内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2) 图象在区间A逐渐上升 ？ 区间A内随着x的增大，y也增大 f(x1) f(x2) O x1 x2 x A y M N O x A y x1 x2 f(x1) f(x2) M N y 2 4 6 8 10 O -2 x 8 4 12 16 20 24 6 2 10 14 18 22 24 函数的单调递增区间有： 函数的单调递减区间有： [4，14] 和 [18，21] [0，4] ，[14，18]和 [21，23] 判断2：定义在R上的函数 f (x) 满足f (2) f(1)，则函数 f (x) 在R上是增函数； 函数的单调性是对定义域的某 个区间而言的，是一个局部概念. 判断1：函数 f (x)= x2 在 是增加的； y x O 1 2 f(1) f(2) x y o 在单调区间上， 如果函数是增加的，那么它的图象是 上升 的。 O x y x1 x2 f(x1) f(x2) x O y x1 x2 f(x1) f(x2) 如果函数是减少的，那么它的图象是 下降 的。 如果 在区间A上是增加的或是减少的， 那么称A为单调区间 概念1 （1）如果函数 y =f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数 y =f(x)在这个子集上具有单调性。 （2）如果函数y =f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数 概念2 解：作出f (x)=3x +2的图像。 由图看出，函数的图像在R 上是上升的，函数是R上的 增函数 例1 x y 2 -1 0 证明：在R上任意取两个值 ，且 ， ∵ 取值 作差变形 定号 结论 ∴ ∴ 即 ∴ 在R上是单调增函数． 例1 画出函数f (x)=3x +2的图像，判断它的 单调性，并加以证明。 x y 讨论：根据函数单调性的定义 ？ 例2 说出函数 的 单调区间,并证明在该区间 上的单调性 。 y 1 x = (x≠0) y 1 x = 的单调减区间是 和 在 上是减函数. 证明：设x1，x2是区间(0, ＋∞)上的 任意两个实数，且 x1 x2 ， 又 例2 下面证明 在 是减函数。 1 x f(x)= (0, ) +￥ 判断函数单调性的方法步骤 ①取值： 任取x1，x2∈D，且x1x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： *