求数列极限的方法 [2].docVIP

求数列极限的方法 摘要它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。本文在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。数列极限：设是一数列，如果存在常数，当n无限增大时，无限接近（或趋近）于，则称数列收敛，称为数列的极限，或称数列收敛于，记为=或：→，当n→∞。}是一个数列，事一个确定的数，若?ε＞0，存在自然数N使得当n＞N时，就有│-│＜ε，则称数列收敛于 ，称为它的极限，记作 = 或→（n→∞） 的极限等于”或“当n趋于无穷大时，趋于”。lim为拉丁文limes一词的前三个字母，也有说成是英文limit一词的前三个字母的。若数列{}没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。 数列极限的性质： 　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的； 　　2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。但，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。 　　3.保号性：如果一个数列{}收敛于a，且a0（或a0)，那么存在正整数N，当nN时，都有0(或0)。 　　4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。 　　几个常用数列的极限： （│q│1）, 2.2利用定积分求数列极限 通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求救相对容易了。 例1 求 解： 将提出，则原和式可改写为 它可以看作是函数在区间上的积分和， 所采用的是n等分区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。因此 例2 求 解： 原式= = = = = = 注1 把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。 结论1 若lnf(x)在上可积，则 2.3利用四则运算法则求数列极限 若{}与{}为收敛数列，则{+ }，{ - }，{ }也都是收敛数列，且有 例:3 求 解： 由 ， 得= = 2.4 利用重要极限求数列的极限 两个重要极限分别为 （1） （2） 例4 求 解 ： = 2.5 利用两个准则求极限。 　(1)夹逼准则：若一正整数 ,当时，有且则有 . 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。 例5：求的极限 解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为 （2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例6 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则 则 因为 解方程得 所以 2.6几类特殊数列极限的求法 （1）公式型 若是等比数列，其前n项和为，公比q满足│q│1，则 例7 若数列的通项是，则求 解： 则是等比数列，且其首项为，公比为; 是等比数列，且其首项为，公比为。 所以 （2）分式型 分子、分母同除以某代数式，使之符合极限的运算法则。若分子、分母事多项式，则分子、分母同除以n的最高次幂，然后利用（k0）来求极限；若分子、分母含指数式，则分子、分母同初除以底数的绝对值大的项，然后利用（│q│1）来求极限。 例8 求 解： ， 则原式= （3）无理式型 一般是先有理化，然后利用极限的运算法则 例9 已知a、b为常数，且，求a、b的值 解： = = 则 解得 a= , b=4 （4）和型或积型 对和型或积型，应先求和或求积，再求极限 例10 求的值 解： 原式= = （5） 递推型 已知数列的递推式求数列的极限，一般对递推式两边取极限，利用构造方程求解；也可求出递推数列的通项公式后，再求极限。 例11 已知a0，数列满足。若的极限存在且大