浅谈导数及微分.docVIP

学校：贵阳学院 系别: 数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 班级：09应数班 科目：数学分析选讲 老师：姚老师 姓名：郑 刚 学号：090501401007 浅谈导数与微分 一、引言 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，1. 函数在一点处可导的概念 设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x0处有改变量Dx，函数y=f(x)相应的改变量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，若这两个改变量的比 当Dx?0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作或f￠(x0)或或．即 =f￠(x0)= 比值表示函数y=f(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率，导数则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢． 如果当Dx?0时的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在． 在定义中，若设x=x0+Dx，则(2-1)可写成 f￠(x0)= 根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下： 第一步： 求函数的改变量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)； 第二步 ： 求比值； 第三步： 求极限f￠(x0)=． 例1 求y=f(x)=x2在点x=2处的导数． 解 Dy=f(2+Dx)-f(2)=(2+Dx)2-22=4Dx+(Dx)2； =4+Dx； =(4+Dx)=4． 所以y￠|x=2=4． ： 当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作；当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作． 据极限与左、右极限之间的关系 f￠(x0) ? 存在,，且== f￠(x0)． 2. 导函数的概念 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f￠(x0)，这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f￠(x)或y￠等． 根据导数定义，就可得出导函数 f￠(x)=y￠= 导函数也简称为导数． 注意：（１）f￠(x)是x的函数，而f￠(x0)是一个数值 （２）f(x)在点处的导数f￠(x0)就是导函数f￠(x)在点x0处的函数值． 例2 ： 求y=C (C为常数)的导数． 解　因为Dy=C-C=0，=0，所以y￠==0． 注：常数的导数恒等于零 例3 ：求y=sinx, (x?R)的导数． 解　=，在§1-7中已经求得 =cosx， 即 (sinx)￠=cosx． 用类似的方法可以求得y=cosx, (x?R)的导数为 (cosx)￠=-sinx． 三、可导和连续的关系 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则存在极限 =f￠(x0)，则=f￠(x0)+a (a=0)，或Dy= f￠(x0) Dx+a×Dx (a=0)， 所以 Dy=[f￠(x0) Dx+a×Dx]=0． 这表明函数y=f(x)在点x0处连续． 但y=f(x)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的． 高阶导数的概念 设函数y=f(x)存在导函数f￠(x)，若导函数f￠(x)的导数[f￠(x)]￠存在，则称[f￠(x)]￠为f(x)的二阶导数，记作y￠￠或f￠￠(x)或,，即 y￠￠= (y￠)￠==． 若二阶导函数f￠￠(x)的导数存在，则称f￠￠(x)的导数[f￠￠(x)]￠为y=f(x)的三阶导数，记作y￠￠￠或f￠￠￠(x)． 一般地，若y=f(x)的n-1阶导函数存在导数，则称n-1阶导函数的导数为y=f(x)的n阶导数，记作y(n)或f(n)(x)或,，即 y(n)=[y(n-1)]￠ 或 f(n)(x)= [f(n-1)(x)]￠ 或 =． 因此，函数f(x)的n阶导数是由f(x)连续依次地对x求n次导数得到的． 函数的二阶和二阶以上的导数称为函数的高阶导数．函数f(x)的n阶导数在x0处的导数值记作记作y(n)(x0)或f(n)(x0)或等． 例4 求函数y=3x3+2x2+x+1的四阶导数y(4)． 解 y￠=(3x3+2x2+x+1)￠=9x2+4x+1；y￠￠=(y￠)￠=(9x2+4x+1)￠=18x+4； y￠￠￠=(y￠￠)￠=(18x+4)￠=18；y(