8.2Bezier曲线和曲面.ppt

第八章 曲线与曲面 8.2 Bézier曲线 8.3 Bézier曲面(掌握) 8.4 B样条曲线（掌握B样条曲线） 8.5 B样条曲面(了解) 8.6 NURBS曲线和曲面(了解) 计算机辅助设计 参数曲线和曲面 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 8.2 Bézier曲线 8.2： Bézier曲线 8.3： Bézier曲面 8.2.1 Bézier曲线 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bézier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bézier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 8.2.1 Bézier曲线的定义 定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0,1,2…，n） 则下列参数曲线称为n次Bézier曲线： Bi,n(t)是n次Bernstein基函数，定义为： 其中，Pi构成该Bézier曲线P(t)的特征多边形，P0,P1…..Pn称为P(t)的控制顶点； Bézier曲线示例 Bézier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状的勾画；P(t)是对P0P1…Pn的逼近； 8.2.2 Bernstein基函数性质 Bernstein基函数 1：正性 2：权性 Bernstein 基函数性质 3：端点性质 4：对称性： 这是因为： Bernstein基函数性质 5：递推性 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。这是因为： 6：导函数 四次Bézier曲线的五条调和函数曲线 8.2.3 Bézier曲线的性质 1.端点的位置： 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0 ；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 8.2.3Bézier曲线的性质 2：端点的切向量 所以当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)， 当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， 这说明Bézier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 8.2.3 Bézier曲线的性质 3：端点的曲率 当t=0时， 当t=1时， 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。 根据曲率公式： 得 8.2.3 Bézier曲线的性质 4：凸包性 由于 所以当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特 征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 。在 几何图形上，意味着Bézier曲线P(t)在 中各点是 控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之 中； 8.2.3 Bézier曲线的性质 5：几何不变性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bézier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi (i=0,1…n) 的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有： （变量u是t的置换） 8.2.3 Bézier曲线的性质 6：保凸性 如果平面上的凸控制多边形能导致所产生的曲线为凸曲线，则称这个生成多边形的方法具有保凸性。我们把控制多边形的P0点和Pn点连接起来，如果P0P1…Pn形成一个平面凸多边形，则Bézier曲线P(t)是一段凸的平面曲线。这个性质就是Bézier曲线的保凸性。 8.2.3 Bézier曲线的性质 7:变差缩减性 若Bézier曲线的特征多边形