Chapt21环与域.ppt

* 离散数学 * 最小多项式 定理21.5.5：有限域F的元素a有唯一最小多项式Ma(x)，且Ma(x)在F的最小子域上不可约。 证明：存在性: a是x – x的根。 pn 唯一性: 设f(x)和g(x)都是a的最小多项式。显然a也是f(x)–g(x)的根。设f(x)–g(x)的首系数为c，则c–1(f(x)–g(x))是比f(x)次数更低的最小多项式。矛盾。故f(x) = g(x)。 不可约性: 设Ma(x)可约, 则Ma(x)=f(x)g(x)。显然有f(a)=0或g(a)=0。而f(x)或g(x))是比Ma(x) )次数更低。矛盾。故Ma(x)不可约。 * 离散数学 * 求最小多项式 例2：设域F={0, 1}，p(x)=x2+x+1。求F[x]p(x)的中每个元素所对应的最小多项式。 解： F[x]p(x) = {0, 1, x, x+1}。 显然，M0(x) = x; 因为1 + 1 = 0，所以M1(x) = x + 1； 因为 (x2 + x + 1)p(x) = 0，所以Mx(x) = Mx+1(x) = x2 + x + 1。 * 离散数学 * 以a为根的多项式必含Ma(x) 定理21.5.6：设F是特征为p的有限域，a是F的最小子域上的多项式f(x)的根，则Ma(x)|f(x)。 证明：设F的最小子域为Fp，由定理21.4.1存在q(x), r(x)∈Fp[x]，使得 f(x) = q(x) Ma(x) + r(x) 其中?(r(x))＜?(Ma(x))。因为f(a) = Ma(a) = 0，所以r(a) = 0。于是必有r(x) = 0。故Ma(x)|f(x)。 * 离散数学 * x – x的因式的最高次数为n 定理21.5.7：设f(x)是p阶域F上的n次不可约多项式，g(x)是次数大于n的不可约多项式，则 f(x) | x – x且g(x) | x – x pn pn pn 证明：∵F[x]f(x)是F的pn阶扩域，∴x∈F[x]f(x)是x – x的根。又显然f(x)是x的最小多项式，故由定理21.5.6知f(x) | x – x。 pn pn 设?(g(x))=m＞n。若g(x) | x – x，即(x – x)g(x) = 0，则(x )g(x) = x。任取h(x)∈F[x]f(x)，于是有(h(x)) – h(x) = 0。 pn pn pn pn ？ pn pn ∵(h(x)) = (h(x))g(x) pn = (h(x ))g(x) pn = ((h(x ))g(x))g(x) = (h(x))g(x) = h(x) pn ∴(h(x)) – h(x) = 0 ∴h(x)是x –x在F[x]g(x)的根， 但这样的h(x)有pm(＞pn)个。矛盾。 结论成立。 pn * 离散数学 * a = a 定理21.5.8：设F是特征为p的有限域。a∈F， ?(Ma(x))=n，则a = a，且对任意m(0＜m＜n)， a ≠a。 pn pm 证明：令x – x为Pn(x)，x – x为Pm(x) 。 pn pn 设Fp为F的质域，于是Ma(x)是Fp上的n次不可约多项式，从而Ma(x)| Pn(x) 。故a = a。 pn 对任意m(0mn)，设Pm(x)=Ma(x)q(x)+r(x),其中?(r(x))n。若a是Pm(x)的根，则r(a)=0，从而r(x)=0，即Ma(x)|Pm(x)。矛盾。结论成立。 pn * 离散数学 * n次不可约多项式有n个根 定理21.5.9：设F是p阶域。f(x)是F上的n次不可 约多项式，a是f(x)在F[x]f(x)中的根，则f(x)在 2 n–1 F[X]f(x)中有n个不同的根：a, ap, ap, …, ap 。 证明：由定理21.5.4知(f(x))p