实验2插值概要.ppt

数学建模 实验2 插 值与 拟合 * 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 返回 * 一维插值的定义 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 ? ? ? ? ? 产生, 或无封闭形式， 节点可视为由 表达式复杂, 或未知。 ? * 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 返回 * 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的 函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函 数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 拉格朗日(Lagrange)插值 * 1. 插值多项式 记所求多项式函数为 由已知条件，知 即 令 则 由 知方程组有唯一解 A=X\Y 拉格朗日(Lagrange)插值 * 称为拉格朗日插值基函数。 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 （1） （2） * 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: * 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 返回 To Matlab Lg22.m(lagr.m) * 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x o y * To MATLAB xch11，xch12，xch13，xch14 返回 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13) * 比分段线性插值更光滑。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y xi-1 xi a b 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。 三次样条插值 * 三次样条插值 g(x)为被插值函数。 *