华东交通大学概率论第3章讲解.ppt

第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布 实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y ) 就是一个二维随机变量. 3.1 二维随机变量及其分布函数 3.1.3 二维离散型随机变量 定义：若 只取有限对或可数对实数值 则称其为二维离散型随机变量。 例２　设随机变量　　　　，随机变量 第二节 边缘分布 3.3.1离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i, j=1,2,…. (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为  P{X=xi}=pi· i=1,2,…. P{Y=yj}=p·j j=1,2,…. 设pi·0,p·j0，考虑在事件{Y=yj}已发生的条件下事件{X=xi}发生的概率,即  {X=xi|Y=yj}, i=1,2,….的概率,由条件概率公式, 显然，上述条件概率具有分布律的特性 (1).P{X=xi|Y=yj}≥0； 同理，对于固定的i，若P{X=xi}0，则称 同理： 解：X与Y的边缘分布如表： 例2: 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1) ,射击到击中的目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律及条件分布律. 解:按题意Y=n 就表示在第n次射击时击中目标,且在第1次,第2次,……,第n-1次射击中恰有一次击中目标. 即得X和Y的联合分布律为 P{X=m,Y=n}= p2qn-2, n=2,3,…；m=1,2,…n-1. 又 于是所求条件分布律为 当n=2,3,…时 3.3.2连续型随机变量条件分布的定义 设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有P{X=x}=0 , P{Y=y}=0 ,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数P{X≤x|Y＝y}.下面我们用极限的方法来处理. 给定y,设对于任意固定的正数ε,P{y-ε＜Y≤y+ε}0 ,于是对于任意x有 1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限 3.条件概率密度 定义 例1: 设(X,Y)服从二维正态分布 N(μ1,μ2,σ12,σ22,?),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数fY|X(y|x). 解: (X,Y)的密度函数为 例2: 设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度fY(y). 解: 按题意X具有概率密度 例3:设(X,Y)的概率密度为 第五节 二维随机变量的函数分布 求:(1) fY|X(y|x)；(2)P{Y?2|X=1/2}。 解：(1)先求X的边缘概率密度。 当0x2时，（如图） 两事件 A,B 独立的定义是： 若 则称事件A,B 独立 . 将事件的独立性推广到随机变量 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 第四节 随机变量的独立性 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 两个随机变量独立的定义是： 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 . 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 若 (X,Y)是离散型随机变量， 则上述独立性的定义等价于： 则称X和Y相互独立. 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有 即 其中 是X,Y的联合密度， 则称X,Y相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型随机变量 则上述独立性的定义等价于： 分别是X和Y 的边缘密度 例1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球 求：（X,Y）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放 回讨论 解：有放回 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 不放回 有放回时，X和Y相互独立； 不放回时则不是 设 （ X,Y）～N( ) X,Y相互独立吗？ 证明： X,Y相互独立 证： 例２ 因为 所以 易见 由x,y的任意性知，上式对一切x,y成立， 故X和Y相互独立 已知X和Y相互独立 例３ 设(X