射影几何在中学数学的应用概要.ppt

* 目录 仿 射 变 换 交比的应用 Desargues透视定理 1 2 3 其中(x, y)与(x, y)为任一对对应点P, P 的坐标, 矩阵 满足|A|?0, 称为仿射变换?的矩阵. 仿射变换 明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形 仿射变换的基本性质: (1)保持直线的平行线； (2)保持同素性和结合性； 　 (3) 保持共线三点的单比, 从而保持两平行线段的比值不变. 仿射变换 定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量； 推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量； 推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量； 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等； 但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变 仿射变换 仿射变换 例1 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，且EF//BD,求证： 仿射变换 例2 求椭圆的 面积 仿射变换 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？ 椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接n边形的面积的最大值多少呢？ 例3 求椭圆 内接△ABC的面积的最大值 思考一 思考二 一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？ 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等； 但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变 仿射变换 仿射变换 例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP 仿射变换 例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦 仿射变换 例6 （2009年辽宁卷数学理第20题） 已知椭圆的方程为 ，点A的坐标为（1,3/2），右焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与AN 的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个定值 仿射变换 目录 仿 射 变 换 交比的应用 Desargues透视定理 1 2 3 交比的初等几何意义 注：如果P4=P?, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定： 于是有, (P1P2,P3P?)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比. 交 比 定理1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线。 定理2 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。 注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。 二次曲线的射影定义 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理) 交 比 交 比 如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两条直线EF和GH，与四边交于E、F、G、H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有OI=OJ 椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理) 交 比 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理) 证明 因为A, F, C, B为圆上四定点, 则由二次曲线的定义，有 以直线AB截