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2016届莆田市毕业班教学质量检查试卷
数学(理科) 2016.3
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足,则
A. B. C. D.
2.已知集合,,则
A. B. C. D.
3.已知函数,则下列结论错误的是
A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于点对称 D.函数在区间上是增函数
4.若的展开式中存在常数项,则常数项为
A.15 B.20 C.30 D.120
5.已知函数,若不等式在上恒
成立,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图,欲使输出的,则输入整数的最小
值为
A.3 B.4 C.5 D.6
7.据统计,夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布
,则在此期间的某一天,该旅游景点的人数不超过1300
的概率为
A.0.4987 B.0.8413 C.0.9772 D.0.9987
附:若,则:
8.已知公比为2的等比数列的前项和为,若,则
A.56 B.128 C.144 D.146
9.点为双曲线的右顶点,过右焦点且倾斜角为的直线与直线交于点.若为等腰三角形,则双曲线的离心率为
A.2 B. C.3 D.
10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为,圆
与该抛物线交于两点,若三点共线,则的长
度为
A.4 B.6 C. 8 D.10
12.在中,.若动点满足,则点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若变量满足约束条件,则的最小值为
14.已知数列满足,则
15.已知一个棱长为的正四面体内接于球,则该球的表面积是
16.定义在上的偶函数满足:对任意的,有,且当时,.若函数在上至少有三个零点,则实数的取值范围是
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为,且.
(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,当取最小值时,求的面积.
18.(本小题满分12分)
某企业对其生产的一批产品进行检测,得出每件产品中某种物质含量(单位:克)的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)估计产品中该物质含量的平均数及方差(同一组数据用该区间的中点作代表);
(Ⅱ)规定产品的级别如下表:
现质检部门从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品,再从中随机抽取3件产品进行检测,记质检部门“抽到或的个数为”,求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面⊥平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知两点,直线经过点且与轴垂直,点是上异于点的动点,直线垂直线段并交线段于点,记点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于两点,直线分别与交于两点,当的面积是的面积的2倍时,求直线的方程.
21.(本小题满分12分).
已知函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若是的导函数,且不等式恒成立,求的值.
请在第22、23、24两题中任选一题作答,注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)
如图,AC为半圆O的直径,D为弧BC的中点,E为BC的中点。
(I)求证:DE∥AB;
(II)求证:AC·BC=2AD·CD
23.(本小题满分10分)选修4-4极坐标与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,与的交点为.
(Ⅰ)判断点与曲线的位置关系;
(Ⅱ)点为曲线上的任意一点,求的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.
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