矩阵可交换性的应用解读.doc

2015届学士学位毕业论文 矩阵可交换性的应用 学 号： 姓 名： 郭冬冬 班 级： 数学1101 指导教师： 闫慧凰 业： 数学与应用数学 系 别： 数 学 系 完成时间：2014年4月 学生诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 日期： 论文使用授权说明 本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名： 日期： 指导教师声明书 本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名： 时间 要 矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。 关键词： 矩阵  目录 1.绪论 1 2.基础知识 1 2.1 矩阵相关概念 1 2.2 线性变换相关概念 2 3.矩阵可交换的应用 3 3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 3 3.2上三角矩阵可交换的应用 4 矩阵可交换性的应用，像 是不成立的，但如果已知可交换那么上述这个公式就是成立的像这样的公式还有很多在可交换矩阵的条件下是成立的等等定义，如果有，则称矩阵可交换定义阶方阵中倘若其中的元素为阶对角矩阵 定义矩阵其主对角线上的元素全是1，其余的元素全是0，即，则称其为级单位矩阵记为或简写为 定义称为矩阵的数量乘积记为乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上，所谓的转置就是指矩阵矩阵的转置是矩阵级方阵称为可逆的若有级方阵使得这里是级单位矩阵是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵。 2.2 线性变换相关概念 定义2.2.1 设是线性空间，和是上的线性变换若成立则称线性变换和是可交换的是数域上的维线性空间，是上的所有线性变换的集合是的一组基即记为 ① 在①式所设下，令，且= , ,则的同构映射因此 3.矩阵可交换的应用 3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 设是数域上的维线性空间，如此便建立了数域上的维线性空间的线性变换与数域上的矩阵的关系它们是相互唯一确定的上述中线性变换的问题就可以借助矩阵这样有限维空间上的线性变换问题就可以转化为中矩阵的问题了反过来中矩阵的问题就可以转化为有限维空间上的线性变换问题中的线性变换的很多性质转化为矩阵语言同样成立反之也成立是复数域上的维线性空间 是的线性变换且的每一个特征子空间都是的不变子空间； 与至少有一个公共的特征向量。 证明：（1）设是的特种子空间是的特征值，则对于，有，从而，故，即的每一特征子空间都是的不变子空间。 （2）是的不变子空间则在复数域上必有特征值并存在非零向量所以是与的公共特征向量例是阶复矩阵且的个特征值两两互异。证明是个对角矩阵和是维复空间的线性变换和在某组基下的矩阵由已知可得是个两两互异的特征值从而存在使得其中线性无关所以是的一组则是的一维不变子空间的直和，所以，根据定理得是的不变子空间，其中，则有，即有个线性无关的特征向量，则可以对角化，所以可以对角化，因此是个对角矩阵。 例2：和是维空间的线性变换的个特征值两两互异，则的充要条件是的特征向量也是的特征向量。 证明：设是的全部特征值且属于的特征向量为因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的所以是的一个基，且和下的矩阵分别为，则，其中。 因为，所以，由于与对角元素彼此不同的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵，所以，这时从得到。 充分性：若的特征向量也是的特征向量，则，。 于是，与在基下的矩阵与可交换，即，因此。 3.2上三角矩阵可交换的应用 首先，给出几个简单的定理，然后由这几个简单定理来推出一个比较复