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1. 调和数列 目录调和数列的定义 调和数列的性质 调和数列的前n项和不是整数。 调和级数发散 展开 调和数列的定义 调和数列的性质 调和数列的前n项和不是整数。 调和级数发散 展开 调和数列的定义 定义1：自然数的倒数组成的数列,称为调和数列. 定义2：若数列{an}满足1/a（n+1）-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}调和数列 调和数列的性质 调和数列的前n项和不是整数。 对任意正整数n∈N，有Sn=1+1/2+1/3+...1/n不是整数。 证明：若不然，则令1+1/2+1/3+...1/n=K（K∈Z）。考察正整数i，使得2^in2^i+1，由整数的唯一分解性，对任意整数a=n有a=2^j*g，其中j=i（事实上当且仅当a=2^i时等号取得，若不然则有2^i*g2^i+1n，矛盾！）。令B=[1,2,3...n]为1—n最小公倍数，则有B*K为偶数（因为B中显然有因子2），但B*(1/2^i)为奇数（因为B中最多只有i个因子2），B*(1/a)为偶数（因为ji）。故有B*Sn为奇数但B*K为偶数，矛盾！所以假设不成立，Sn非整。 调和级数发散 人们已经研究调和数列已经几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......称作欧拉初始,专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数) 人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式. 当n→∞时 1+1/2+1/3+1/4+ … +1/n 这个级数是发散的。简单的说，结果为∞ －－－－－－－－－－－－－－－－－－ 用高中知识也是可以证明的，如下： 1/2≥1/2 1/3+1/41/2 1/5+1/6+1/7+1/81/2 …… 1/[2^(k-1)+1]+1/[2^(k-1)+2]+…+1/2^k[2^(k-1)](1/2^k)=1/2 对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 必然能够找到k，使得 1+1/2+1/3+1/4+ … +1/2^ka 所以n→∞时，1+1/2+1/3+1/4+ … +1/n→∞ （由1/n1/(sqrt(n))^21/(sqrt(n)+sqrt(n-1))=sqrt(n)-sqrt(n-1)（sqrt(n)表示n的开方）也可证明。） sn=1+1/2+1/3+...1/n,证明：当n≥2时，sn^2≥2（s2/2+s3/3+...sn/n)2011-01-25 23:08 Sn^2=(S(n-1)+1/n)^2=[S(n-1)]^2+2S(n-1)/n+1/n^2=[S(n-1)]^2+[2S(n-1)+2/n]/n-1/n^2=[S(n-1)]^2+2Sn/n-1/n^2以此类推可得Sn^2=S1^2-1/2^2-1/3^2-……-1/n^2+2(s2/2+s3/3+...sn/n) 只要证明n=2时，S1^2-1/2^2-1/3^2-……-1/n^2=0即可因为，S1=1且对任意n=1均有，1/n-1/(n+1)^2=[(n+1)^2-n]/n(n+1)^2=(n^2+n+1)/n(n+1)^2(n^2+n)/n(n+1)^2=1/(n+1)故S1^2-1/2^2-1/3^2-……-1/n^2=(1/1^2-1/2^2)-1/3^2-……-1/n^21/2-1/3^2-……-1/n^21/3-……-1/n^21/(n-1)-1/n^20原式得证。 已知Sn=1+1/2+1/3+...1/n,用归纳法证明S2的n次方1+2分之n,n要大于1，n为整数证明：由已知条件可得S2＝1+1/2＝3/2假设n大于1且n为整数时，(S2)^n1+n/2成立当n＝2时，左边(S2)^n＝3/2*3/2＝9/4，右边＝1+2/2＝2左边大于右边，所以当n＝2时不等式成立……假设当n＝n时，左边(S2)^n＝（3/2）^n，右边＝1+n/2，左边大于右边，则当n＝n+1时，左边(S2)^n＝（3/2）^（n+1） ＝3/2*(3/2)^n3/2*（1+n/2）＝（6+3n）/4（6+2n）/4右边＝1+（n+1）/2＝3/2+n/2＝（6+2n）/4左边右边所以，n大于1且n为整数时，(S2)^n1+n/2成立 用数学归纳法证明如下：S2=1+1/2=3/2当n=2时，(S2)^2=(3/2)^2=9/41+2/2=2；假设当n1，(