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高三数学第考轮专题复习系列(4)--(理)三角函数与复数
一、大纲解读
复数部分:⑴加强数学思想方法的训练:转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想;⑵突破关键知识:①理解复数、实数、虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示;②熟练应用复数相等的条件;③掌握复数的运算法则,及复数加减法的几何意义及应用;④复数问题实数化方法.
高考对复数的考查难度较低,希望同学们复习时熟练掌握基础知识,复习有的放矢,策略得当,准确求解,保证与此有关的考高题目不丢分.
二、高考预测
复数部分是高考必考内容之一,主要考查复数的有关概念和运算.复数在高考中题型多为选择题和填空题,均为容易题.估计2009年高考对这部分的考查不会有大的改变.复数部分仍然会重点考查有关概念的复数基本运算,问题难度相当,均为容易题.
三、重点剖析
1.复数有关概念:实数、虚数、纯虚数、虚部、实部、共轭复数、复数相等等概念的理解、正确应用及复数的加减乘除四则运算法则的理解和正确应用
⑴复数.
⑵复数相等:.
⑶共轭复数:与互为共轭复数.注意:①,为纯虚数或零;②;③是纯虚数且.
例1⑴(08年高考广东卷理2)设,且为正实数,则 .
⑵(08年高考湖北卷理11)设是复数,,(其中表示复数的共扼复数),已知的实部是,则的虚部为 .
分析:⑴求出复数的实虚部,利用复数的虚部为零,实部大于零求解即可;⑵将和都写成的形式,利用复数相等列方程组求解.
解:⑴.
⑵设,由得:
.
评注:注意掌握复数有关概念的典型特征和两个复数相等的充要条件.
易错指导:用概念解题要抓住概念的本质列式,计算时注意正确使用复数的运算法则.
2.复数的模的定义及求解方法、复数几何意义(点的表示和向量表示)、及其相关的运算
⑴复数的模:.
⑵几何意义:复数可用点或用表示.
例2 已知(,为虚数单位).的对应点为,为原点,则 .
分析:根据复数模的定义求出,再用三角函数定义求解即可.
解:,因为所以.则,.
根据三角函数定义知:.
评注:注意熟练记忆复数的模的公式,注意复数与三角的结合问题的求解.
易错指导:复数的模常常和点、向量相结合考查,注意交汇知识的正确应用,注意向量的两种几何表示:⑴点表示:弄清各象限点的坐标的符号;⑵向量表示:注意复数与平面向量交汇,弄清平面向量的基本运算法则.
以上是对本专题重点内容的分,希望同学们针对以上几方面,复习时抓住重点,提高解题准确性,提升解决问题的能力,减少失误的发生.
四、规律总结
1.复数中常见的重要结论:
①;②;
③,;
④,;
⑤设,则,;
,.
2.共轭复数的运算性质:
.
3.复数中的解题方法和策略:
⑴证明复数是实数的策略:①②③.
⑵证明复数是纯虚数的策略:①为纯虚数;②为纯虚数;③是纯虚数且.
⑶复数方程求解策略:①利用求根公式;②利用韦达定理;③利用复数相等的定义求解.
⑷复数模的求解策略:①利用定义求复数的模;②利用几何意义求复数的模;③利用复数对应的向量关系求复数的模;④利用方程思想求解复数的模.
⑸解决复数问题基本策略:①复数相等策略;②分母实数化策略;③利用几何意义转化为点或向量策略;④借助于特殊结论求解策略.
五、能力突破
2.复数与三角函数的交汇
例2已知复数,则的最大值为 .
本题简介:主要考查复数的乘法运算、复数模的求解、三角公式和三角函数有界性的熟练应用.
分析:把表示出来,然后利用三角函数的有界性求最大值.
解:∵
, ∴的最大值为.
反思:本题以复数为切入点,重点考查了复数的模的计算方法、三角函数有关公式、最值的求解、均值不等式等内容,涉及的知识较多,基础性较强,所以求解此类问题的关键是熟练掌握所学基础知识.
5.复数和逻辑知识的交汇
例5 则是的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
本题简介:本题主要考查复数相等的充要条件,考查充要、充分不必要、必要不充分等等条件的判断方法.
分析:先求出的充要条件,再判定与充要条件的关系.
解:由解得或,所以是的充分条件.选A.
反思:判断(或)求充分条件或必要条件时,一般都需先求出充要条件,再利用条件对应集合之间的包含关系,来确定所给条件是什么条件.
六、高考风向标
考查方向一:考查复数中的有关概念,包括复数中的实数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等、复数的模等定义及其应用等
例1(08年高考福建卷理1)若复数是纯虚数,则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.
分析:直接按纯虚数满足的条件列式求解即可.
解:因为是纯虚数且,所以,
解得,所以选B.
感悟:注意纯虚数的虚部不等于零,这是解题易错点.对复数的有关概念:实数、纯虚数、虚数、共轭复数、复数相
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