工程力学弯曲应力教程概要.ppt

图a所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态(state of plane stress)。 需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的(图a,b,c)(或分别接近各自的最大值) 则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大 (图d)，因此处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。 此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。 s s 例题4-22 一简易吊车的示意图如图a所示，起重量P=30 kN，跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力[s]=170 MPa，许用切应力[t]=100 MPa。试校核梁的强度。 P 解：吊车梁可简化为简支梁(图b)。 (c) (b) P (b) P 校核正应力强度 荷载移至跨中处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示， 分析：非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 T型截面铸铁梁， 截面尺寸如图示。试校核梁的强度。 （2）求截面对中性轴z的惯性矩 z1 y z 52 解：（1）求截面形心 （5）C截面要不要校核？ （3）作弯矩图 （4）B截面校核 dx §8-3梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件 Ⅰ. 梁横截面上的切应力 (1) 矩形截面梁 从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。 h b z y O 由于m－m和n－n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mmA1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。 它们分别为 式中， 为面积A*(图b)对中性轴z的静矩； A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。 即 由于 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力dFS(图b)： 为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dFS对应的切应力t，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t 的情况： 1. 由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行； 2. 对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。 从而对于狭长矩形截面可以假设： 1. 横截面上各点处的切应力均与侧边平行； 2. 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。 z y y 于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t 均与横截面正交，且大小相等。至于t 在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t 在该纵截面范围内是没有变化的。于是有 以上式代入前已得出的式子 得 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t 必与t 互等，从而亦有 矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式 z y y y1 式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩， 。 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。 横截面上切应力的变化规律 前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t 在与中性轴垂直方向的变化规律。 上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t 沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。 b h dy1 y y z O y1 可见： 1. t 沿截面高度系按二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0): (2) 工字形截面梁 1. 腹板上的切应力 其中 2. 在腹板与翼缘交界处： 在中性轴处：