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第1章 电磁场的数学物理基础 本章内容§1.1 矢量分析§1.2 时变电磁场的基本方程  * * * * * * * §1.1 矢量分析 1. 标量场和矢量场 标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 2. 场的场图表示 对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同。 对标量场，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。 3.矢量的通量、散度 一个开表面上的面元，其方向与围成该开表面的闭合回路的方向呈右螺旋关系。 一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向。 通量定义：矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量，即 。 物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 散度定义：在矢量场A中，围绕 P 点做一闭合面，所围体积为??，若穿过闭合面的通量与之比的极限存在，则该极限称为矢量场A在 P 点的散度,即 物理定义：包围单位体积闭合面的通量。 计算公式 ： 散度（高斯）定理 ： 4. 矢量的环流、旋度 定义：矢量A沿某一有向闭合曲线C的线积分为A沿C的环流，即 物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质 。 矢量的旋度：在矢量场A中，围绕P点做一闭合回路c，所围面积为?S，其法线方向单位矢量为n；A的旋度是矢量，其大小为?S?0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向无关。 计算公式 ： 斯托克斯定理 ： 5.标量的梯度 定义：标量场u在某点的梯度是一个矢量，其方向为u增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u在该方向上的增加率，即最大增加率。 物理意义：标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值及方向。 计算公式： 标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即 证明： 6.矢量恒等式 7.亥姆霍兹定理 定理：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。 几个场的名称和性质 ： 保守场：场强沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。 无旋场： 旋度为零的矢量场叫做无旋场。 标量场的梯度场是无旋场，如静电场。 无散场： 散度为零的矢量场叫做无散场。矢量场的旋度场是无散场，如恒定磁场。 由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程 。 §1.2 时变电磁场的基本方程 1.时变磁场产生有旋、无散电场 法拉第电磁感应定律 : 式中，?in为感应电势，S为以闭合回路为边界的曲面，n为S的单位法向量，?为穿过曲面S的磁通。它们之间的关系如图1所示。式中的负号可由楞次定律说明，即感应电流产生的磁场将抵抗原来磁场的变化 。 对应感应电势?in，存在感应电场Ein，且感应电势?in等于感应电场Ein沿闭合回路的线积分，即： 可以看出，感应电场 Ein 沿闭合回路的线积分不为零。换句话说，感应电场为非保守场。 假设在随时间变化的磁场中，闭合回路C以速度v在?t的时间间隔内位移了v?t的距离，则闭合回路中磁通的变化率为： 闭合回路C的一个线元dl也在?t的时间间隔内位移了v?t的距离，它扫过一个面元，整个回路扫过一个侧面S（?t）。 S（t），S（?t）和S（t+?t）构成一个闭合曲面，令其为S0，则由磁通连续性原理，在t+?t时刻，应有： 用泰勒公式展开为： 略去二阶以上的无穷小项，带入上式，得： 移项，可得： 由此可得： 利用斯托克斯定理： 曲面S是任意的,等号两边的积分核必须相等，即 ： 感应电场的电场强度线是无头无尾的闭合曲线，它对任意闭合曲面的面积分必然为零，或者说它的散度为零（ ）。可见，感应电场是有旋场，无散场。 如果空间还存在库仑电荷，则库仑电荷产生的库仑电场Ec与静电场性质相似，是无旋场，有散