平面向量的坐标运算及共线坐标表示(用)概要.ppt

* 2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 平面向量的坐标表示 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 为基底，则 这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作 ① 其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。 向量的坐标运算 例1.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 的坐标. 解： =(x2,y2)－(x1,y1) =(x2－x1，y2－y1)。 说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。 例2.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标。 解：设M(x,y)是线段AB的中点，则 例2得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。 例3.已知□ABCD的三个顶点A(－2, 1)、B(－1, 3)、C(3, 4)，求顶点D的坐标。 解： =(－2,1)+(3,4) －(－1,3) =(2, 2) 所以D点的坐标是(2, 2). O x y 1 1 D(x,y) C(3,4) A(-2,1) A(-1,3) 练习1. 设向量a=(1,－3)，b =(－2,4)，c =(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 . 解： 4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0, 所以d=－6a－4b+4c=(－2, －6). 2.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足 (1) λ为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求λ的范围. 解: (1) 设P(x, y)，则 (x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 所以x=5λ+5，y=7λ+4. 解得λ = (2) 由已知 5λ+50,7λ+40 , 所以λ－1. 如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 会得到什么样的重要结论? 向量 与非零向量 平行(共线)的等价条件是有且 只有一个实数 , 使得 设 即 中,至少有一个不为0 ,则由 得 这就是说: 的等价条件是 a=(x1 ,y1)， → b=(x2 ,y2) → 3、 其中 ≠ , a → 0 → 有且只有一个实数λ，使得 a → b=λ → 即：（x2 , y2) =λ(x1 , y1) =(λx1 , λy1) 所以 x2=λx1 y2=λy1 消去λ得： x1y2- x2 y1=0 a=(x1 ,y1)， → b=(x2 ,y2) → 其中 x1y2- x2 y1=0 a∥ → b → a∥ → b → 平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的两种表示形式: x1y2- x2 y1=0 (2) a=(x1 ,y1)， → b=(x2 ,y2) → 有且只有一个实数λ,使得 a → b=λ → (1) 例1 已知 a =（4，2）,b=（6，y） 且a ∥b，求y的值. 解：∵ a ∥b ∴4y-2×6=0 解得y=3 典型例题 例2 已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：A、B、C三点共线. 证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10) BC=(6-3,28-13)=(3,15) ∴ 2×25=5×10 ∴AB∥BC 又∵ 直线AB、直线BC有公共点B ∴ A、B、C三点共线 典型例题 x y O P1 P2 P (2) x y O P1 P2 P 例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 。 （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。 x y O P1 P2 P x y O P1 P2 P x y O P1 P2 P 直线l上两点 p1 、 p2，在l上取不同于 p1 、p 2的任一点P，则P点与p1 p2的位置有哪几种情形？ P在之 间 P P在 的延长线上， P P在 的延长线上. P 能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定λ