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模块三 时域分析法 教学目标 知识目标： ①正确理解时域响应的性能指标、稳定性、系统的型别和静态误差系数等概念。 ②牢固掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算性能指标和结构参数。 ③理解线性定常系统稳定的条件，熟练的应用劳斯判据判定系统的稳定性。 ④掌握控制系统的动态性能 ⑤掌握控制系统的稳态误差分析 能力目标： ①能分析控制系统的稳定性 ②能分析控制系统的动态性能 ③能分析控制系统的稳态误差 ④能掌握时域分析法 素质目标: ①培养自学能力 ②培养文献检索、资料查找与阅读能力 ③培养严谨的工作作风 教学内容 ①典型输入信号和时域性能指标 ②时域分析法 ③劳斯–古尔维茨稳定判据 ④控制系统的稳定性分析 ⑤控制系统的动态性能分析 ⑥控制系统的稳态误差分析 时域分析法通常是指直接从微分方程或间接从传递函数出发去进行分析的方法。 　【例3-1】 求典型一阶系统的单位阶跃响应。　　设典型一阶系统的微分方程为： (3-13) 式中，r(t) 为输入信号；c(t) 为输出信号；T称为间 常数，其初始条件为零。 解 1) 对微分方程两边进行拉氏变换有:　　　　　 TsC(s)+C(s)=R(s)　　 由题意可知，系统的输入信号为单位阶跃信号， 即r(t)=1(t),则 ,代入上式有:  2) 将上式分解为部分分式　　　 由上式有：　　 3) 用待定系数法可求得A=1,B=-T，代入上式有：　　　　　　 4) 对上式进行拉氏反变换，由表3-1可查得对应项的原函数，于是有： (3-14) 5) 由式(3-14)所表达的阶跃响应曲线如图3-3所示。 6) 对求解的结果进行分析: ① 响应曲线起点的斜率m为： (3-15) 由上式可知，响应曲线在起点的斜率m为时间常数T 的倒数，T愈大，m愈小，上升过程愈慢。 ② 过渡过程时间。由图3-3可见，在t经历T、2T、3T、 4T和5T的时间后，其响应的输出分别为稳态值的 63.2%、86.5%、95%、98.2%和99.3%。由此可见，对 典型一阶系统，它的过渡过程时间大约为(3～5)T， 到达稳态值的95%～99.3%。 【例3-2】 求典型一阶系统的单位斜坡响应。典型一阶系统惯性环节的微分方程为　　 　　 上式的拉氏式为 　　 由于为单位斜坡输入，即r(t)=t,因此， ， 　代入上式有 　由上式有 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 应用通分的方法，可求得待定系数A=1，B=-T,C=Ｔ２。 　以待定系数代入式有 　由式(3-3)可画出如图3-1所示的典型一阶系统的单位斜坡响应曲线。 　【例3-3】 若输入量r(t)为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的输出量c(t)。 　　 　 　解：对上式进行拉氏变换，并以R(s)=1/s代入，得 1）当ξ=0(无阻尼)(零阻尼)时： 　(特征方程的根s1,2=±jωn，即为一对纯虚根)。当 　ξ=0时，式(3-5)为 　　 　无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线。参见图3-3中　　 　ξ=0的曲线。 　2)当0ξ1(欠阻尼)时： 　　特征方程的根是一对共轭复根， 　　 　　通常令 　　 　　则 　　由式(3-5)，对照0ξ1的条件，由表3-1第13行可　　　 　　查得 　由式(3-8)可见，式中sin(ωdt+φ)的幅值是±1，因 　 　此c(t)的包络线便是　　　　 　 　c(t)是一衰减振荡曲线，又称阻尼振荡曲线。 　由式(3-8)还可知，对应不同的ξ(0ξ1)，可画出一 　簇阻尼振荡曲线，参见图3-3。由图3-3可见ξ愈小， 　振荡的最大振幅愈大。 3) 当ξ=1(临界阻尼)时： 特征方程的根s1,2=-ωn，是两个相等的负实根(重根)。 当ξ=1时，由式(3-5)有 　　 　由式(3-9)可画出如图3-3中ξ=1所示的曲线。此曲 线表明，临界阻尼时的阶跃响应为单调上升曲线。 4)　当ξ1(过阻尼)时： 　　 　　特征方程的根