求导法则-第二.pptVIP

第二节 思路: 一、四则运算求导法则 证: (2) 例1. (3) 例2. 求证 二、反函数的求导法则 例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 2) 设 三、复合函数求导法则 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例4. 求下列导数: 例5. 设 例6. 设 四、初等函数的求导问题 2. 有限次四则运算的求导法则 例7. 例9. 例10. 设 内容小结 2. 设 3. 求下列函数的导数 4. 设 作业 备用题 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等函数求导公式 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数 此法则可推广到任意有限项的情形. 设 , 则 故结论成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 证: 设 则有 故结论成立. 推论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 设 则有 故结论成立. 推论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 证: 类似可证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 1) 设 则 类似可求得 利用 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别当 时, 小结: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, 定理3. 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导, 证: 在点 u 可导, 故 （当 时 ) 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: (1) (2) (3) 说明: 类似可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 思考: 若 存在 , 如何求 的导数? 这两个记号含义不同 练习: 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 记 则 (反双曲正弦) 其它反双曲函数的导数见 P94例16. 的反函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 说明: 最基本的公式 其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 例8. 设 解: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导公式及求导法则 (见 P94) 注意: 1) 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 1. 思考与练习 对吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 在 因 故 阅读 L.P 51 例1 正确解法: 时, 下列做法是否正确? 在求 处连续, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: (1) (2) 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 方法1 利用导数定义. 方法2 利用求导公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ;