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一、最值定理与有界性 定义: 例如 定理1 (有界性与最大值和最小值定理) 注:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 在闭区间上的连续函数有界且一定有最大值和最小值. 二、零点定理与介值定理 定义: 根的存在性定理 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证： 由零点定理知, 例1 证明： 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例2 证明： 由零点定理知, 说明：见书上77页的例3（不动点定理） 注：零点定理常用于判定方程f(x)=0的根的情 况，一般步骤： 1、构造函数f(x)(从结论入手！) 2、验证零点定理的条件，即：判断函数 f(x)的连续性及f(x)在端点值的符号. 3、应用零点定理. 证明 思考题 讨论: 由零点定理知, 综上, 小结 三个定理 有界性与最值定理，零点定理，介值定理. 注意定理条件：1．闭区间； 2．连续函数． 解题思路： 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法: 先作辅助函数F(x), 再利用 零点定理. 作 业 P78 T1 , T3 P79 T3, T5, T8 , T11 * * * 第二章 极限与连续 上页 下页 返回 济南大学理学院 第二章 极限与连续 第七节 函数的连续性 初等函数的连续性 函数的间断点 函数连续性的概念 思考题、 小结 1.无穷小的比较: 2.等价无穷小的替换: 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 内容回顾 一、函数连续性的概念 1. 函数的增量 2.连续的定义 例1 例1 证 由定义2 知, 定理 3.单侧连续 例2 解: 右连续但不左连续 , 例3 证明: 则 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 4.连续函数与连续区间 结论1 基本初等函数在定义域内是连续的. 三角函数及反三角函数在它们的定义域内连续. ★ ★ ★ ★ (均在其定义域内连续 ) 基本初等函数的连续性 二、函数的间断点 例4 解: 1.跳跃间断点 2.可去间断点 注：可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 例5 解: 在例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 3.第二类间断点 例6 解: 例7 解: 例8 解: 重要题型！ 三、初等函数的连续性 定理1 例如 1.连续函数的四则运算的连续性 定理2 如果函数y = f(x)在某区间上单调增加(或减少)且连续,则它的反函数在相应的区间上单调增加(或减少)且连续. 例如 反三角函数在其定义域内皆连续. 2.反函数与复合函数的连续性 定理3 注：定理3是52页定理5的特殊情况. 例如, 结论2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间. （1）初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 注:　 3.初等函数的连续性 结论1 基本初等函数在定义域内是连续的. （2） 初等函数求极限的方法代入法. 例9 例10 解: 解: 解: 思考题 小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型，跳跃型. 第二类间断点:无穷型，振荡型. 间断点 初等函数的连续性. 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 作 业 P73 T2 , T3 , T6 第八节 闭区间上连续函数的性质 零点定理与介值定理 最值定理与有界性 思考题、 小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型，跳跃型. 第二类间断点:无穷型，振荡型. 间断点 初等函数的连续性. 内容回顾 第二章 极限与连续 上页 下页 返回 济南大学理学院 第二章 极限与连续 * * *