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积分 定积分 曲线积分二重积分三重积分曲面积分 积分域 区间 曲线 平面区域 空间区域 曲面 曲线积分 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 在数学分析中除了定积分外，我们还要学习下列积分： 第一型曲线积分的定义 第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 1. 问题的提出 实例:曲线形物体的质量 设曲线形物体 Ω，密度函数 f(P) 在Ω 上连续， 求该物体的质量. 均匀物体的质量= 密度×长度 分割: 为计算此物体的质量M,采用 近似代替: 求和: 取极限: 把曲线 Ω 分成 n 个可求长度的小曲线段 2. 定义 设 L 是平面上可求长度的曲线段, f ( x, y ) 为定义在 L 上的函数, 对曲线 L 作分割 T，把 L 分 成 n 个可求长度的小曲线段 Li ( i = 1, 2, …, n ), Li 的 弧长记为 Δsi ，分割 T 的细度为 在 Li 上任取一点 (ξi ,ηi ) ( i = 1, 2, …, n ), 若极限 存在，则称此极限为 f (x, y ) 在 L 上的第一型 曲线积分，记为 如果 L 是闭曲线 , 则记为 设 L 是空间可求长曲线段, f ( x, y, z ) 为定义在 L 上的函数，则可类似地定义 f ( x, y, z ) 在空间曲线 L 上的第一型曲线积分，并记作 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 3. 性质 2. 若曲线 L 由曲线段 L1 , L2, …, Lk首尾相接而成， 1. 若 i = 1, 2, …, k 存在，ci 为常数， 则 且 i = 1, 2, …, k 都存在，则 也存在，且 也存在，且 3. 若 与 都存在， 且在 L 上 则 4. 若 存在，则 也存在，且 5. 若 存在，L 的弧长为 s , 则存在 常数 c ，使得 其中 定理: 设 存在，且 上连续, 证: 在光滑曲线 则曲线积分 根据定义 二、第一型曲线积分的计算 点 设各分点对应参数为 对应参数为 要证： 只需证明： 即 则 说明: 因此积分限必须满足 因此 如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: 则 设空间曲线的参数方程为 则 例. 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 例3. 计算 其中L为球面 被平面 解: 由对称性可知 所截的圆周. 例. 计算曲线积分 其中?为螺旋 的一段弧. 解: 线 例. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 在第一象限部分. 其中 例. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 求它的重心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). L的质量 有 设重心坐标为 故重心坐标为 例. 计算 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 内容小结 1. 定义 ( l 曲线 L 的长度) 2. 计算 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 思考与练习 1. 已知椭圆 周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: 例. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 1. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 2. L为球面 面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个坐标 解: 如图所示 , 交线长度为 由对称性 , 形心坐标为