第4随机变量的数字特征.pptVIP

Cov(X,Y)=E(XY)－ E(X)E(Y) 若X与Y独立则：Cov(X,Y)= 0，反之不成立. 3. 协方差的简算公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)－E(X)E(Y)－E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)－E(X)E(Y) 即 协方差在一定程度上反映了X和Y相互系，但受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为克服此缺点，对协方差标准化，这就引入了相关系数 . 二、相关系数 为随机变量X和Y的相关系数 . 定义: 设D(X)0, D(Y)0, 称 在不致引起混淆时，记 为 . 定理： (a、b是常数) 引理：设?、?是随机变量，E(?2)+?、E(?2) +?，则： |E(??)|2? E(?2) E(?2) 等号成立 存在常数t0使:P{? =t0 ?}=1 证明：定义函数：q(t)=E[(t ?－?)2] 则： 0? q(t)=E[(t?)2 +?2－2t??] ＝t2 E(?2)+E(?2)－2tE(??) 故：q(t)=0有唯一实根或无实根 ?4E(??)2－4E(?2)E(?2) ? 0 即：|E(??)|2?E(?2)E(?2) |E(??)|2＝E(?2) E(?2) q(t)=0有唯一实根 存在常数t0使:E[(t0?－?)2]=0 P{? =t0 ?}=1 定理证明： 令?＝X－E(X) ? =Y－E(Y) 代入引理： |E[(X－E(X))(Y－E(Y))|2 ? E[X－E(X)]2E[Y－E(Y)]2 即: |?| ? 1 ； |? | ＝1 存在常数t0 使:P{Y－E(Y)=t0[X－E(X)]}=1 令: a = t0 ,b=E(Y)－t0 E(X) 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关 2. X和Y独立时: ?=0，反之不成立. 例9. X～N(0，1)，Y=X2，求：?XY 解： ?X～N(0, 1) ?E(X)=0, D(X)=1 ? Y= X2 E(Y)=1(例7结论) E(Y2)=E(X4) * 第4章：随机变量的数字特征 §1.数学期望 §2.方差 §3.几种重要随机变量的数学期望与方差 §4.协方差及相关系数 §5.矩、协方差矩阵 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？ 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 统计100天,可得这100天 每天的平均废品数为 此数能否作为 X的平均值？ 若另统计100天,小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 当统计天数趋于?时，才是小张每天的平均废品数 由频率和概率的关系，用概率代替频率： 以概率为权 的加权平均 这个数才是随机变量X的真正的平均值 . 是否合理呢？ ni表示每天出i件废品 i=0,1,2,3. 得n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说,若统计n天, 以频率为权 的加权平均 把以上问题抽象为摸球模型描述: 2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 2 2 0 0 0 3 3 1 1 1 箱子里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图. 规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验. 记X为所取出的球的号码(对应废品数) . X的概率函数为 我们采用计算机模拟. 请看演示 随机变量均值的确定 输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算 与 进行比较. 看计算机模拟的结果. 2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 §1. 数学期望 例1.观察放射性物质7.5秒放出?粒子数X。 共观察2608次。 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?10 频数?k 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16 算得平均值X＝3.87 当试