第6数理统计学中的基本概念.pptVIP

众数、中位数、均值的比较 (3) 方法与步骤: 设总体的分布密度(或概率密度) 其中 是待估参数. ① 写出似然函数(即样本的联合密度函数) ② 写出对数似然函数（对似然函数取对数） ③ 写出似然方程 ④ 求解似然方程并写出估计量 (只有一个待估参数时求 ) 例:X~N(μ,σ2),求参数μ,σ2的最大似然估计. 解 注意: 不是无偏估计. 例:设X服从[0,θ]区间上的均匀分布,参数 θ0,求θ的最大似然估计. 解 由题意得: 无解. 基本方法失效. 要使L取值最大,θ应最小,而 取 此时,L取值最大, 所以,最大似然估计为 应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现. 例 求参数为p的0-1分布的最大似然估计. 解 P(X=0)=1-p P(X=1)=p P(X=m)=pm(1-p)1-m(m=0,1) P(X=x)=px(1-p)1-x 解得 最大似然估计为 注意: 为p的无偏估计量. 例 设总体X～ 解 由题意得: 当 时， 所求最大似然估计为 其中 是未知参数. 是来自总体的一个容量为 n 的s.r.s,求 的最大似然估计 所以 另一方面 故 设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为取自该总体X的样本. (1)四大分布及其分位数 ① 标准正态分布及其下侧分位数 若P(Zz1-α)=1-α, 则称z1-α为标准正态分布 的下侧1-α分位数. Z1-α α X φ(x) 其中 定义 设X~N(μ,σ2),则 ~N(0,1),对任意0α1, 正态总体下的常用统计量及其分布 例:在总体X~N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率: (1)因为 =2Φ(1.118)-1 =0.7364 解 即: n 个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方 和X的分布为自由度为 n 的 分布. 性质 X1,X2,…Xn独立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),则 定义 分布具有可加性, 即 X,Y独立,X~ (m),Y~ (n),则 ② 分布的下侧分位数 分布的下侧分位数 X f(x) (1)若P(Xλ)=1-α,则 (1)若P(Xλ)=α,则 例:设X~ (10),P(Xλ1)=0.025, P(Xλ2)=0.05,求λ1,λ2. 解 定义 设 ,对于给定的α(0α1), 若P(X )=α,则称 为自由度为n的 分布 的下侧1-α分位数. 例 设 是取自总体N(0,4)的简单随机样本 时, 解 由题意得 设随机变量 ,随机变量 Y ,且它们互相独立,则称随机变量 的分布为自由度是 n 的t 分布,记作 定义 t分布的密度曲线: X f(x) 特点 关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线. ③ t分布及其下侧分位数 服从( )分布,参数为( ). 例:设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布 ,而 和 分别是来自总体 X 和 Y 的 s.r.s,则统计量 t 9 解 故 与 独立, 所以 t分布的下侧分位数 例:设t1-α(n)为t(n)的下侧1-α分位数则P(T t1-α(n))= , P(T- t1-α(n))= , P(|T| t1-α(n))= . X f(x) α 1-α 2α α 设X~t(n),对于给定α(0α1),若P(t(n) )=1-α, 则称 为t(n)分布的下侧1-α分位数. (4)设随机变量 随机变量 且 它们相互独立,则称随机变量 的分布为自 由度是 的 F 分布。 (1)若P(Fλ)=1-α,则 (2)若P(Fλ)=1-α,则 P(1/F1/λ