第七平面向量.pptVIP

* * 第七章　平面向量 7.3　向量的内积 创设情境　兴趣导入 F s 图7—21 O 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力， 角的方向拉小车，使小车前进了100 m． 朝着与水平线成 那么，这个人做了多少功？ 做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．力F是水平方向的力 W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100× ·10＝500 与垂直方向的力的和，垂直方向上 没有产生位移，没有做功，水平方向 上产生的位移为s，即 动脑思考　探索新知 W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100× ·10＝500 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积． B A O a b 如图，设有两个非零向量a， b，作 由射线OA与OB所形成的的角叫做向量 a与向量b的夹角，记作a，b． 两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b 的内积，记作a·b， 即 a·b＝|a||b|cosa，b (7.10) 由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0. 动脑思考　探索新知 动脑思考　探索新知 由内积的定义可以得到下面几个重要结果： 当a＝b时，有a，a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝ cosa,b＝ 当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b=　　 时，a·b＝?|a||b|． a·b＝0 a b. 对非零向量a，b，有 动脑思考　探索新知 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： a·b＝b·a. (a＋b)·c＝a·c＋b·c. a·(b·c)≠(a·b ) ·c. 一般地，向量的内积不满足结合律，即 巩固知识　典型例题 例1　 已知|a|＝3,|b|＝2, a，b＝60°，求a·b． 解 a·b＝|a||b| cos a，b ＝3×2×cos 60°＝3． 巩固知识　典型例题 例2 已知|a|＝|b|＝ ,a·b＝ ,求a,b． 解 cosa,b＝ 由于 0≤a,b≤180°， 所以 a,b＝ 运用知识　强化练习 1. 已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a·b． 2. 已知a·a＝9,求|a|. 3. 已知|a|＝2,|b|＝3, a,b＝30°，求(2a＋b)·b ． 动脑思考　探索新知 设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j ＝0, 又| i |＝|j|＝1,所以 a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 即 a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　 (7.11) 设a＝(x,y)，则 ，即 (7.12) 动脑思考　探索新知 cosa,b＝ (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a⊥ b a·b＝0，由公式(7.11)可知 a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0． 因此 a⊥b x1 x2＋ y1 y2＝0．　　 (7.14) 由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时， 巩固知识　典型例题 例3 　求下列向量的内积： （1）　a＝ (2, ?3), b＝(1,3)； （2）　a＝ (2, ?1), b＝(1,2)； （3）　a＝ (4,2), b＝(?2, ?3) ． 解 　(1) a·b＝2×1＋(?3)×3＝?7； (2) a·b＝2×1＋(?1)×2＝0； (3) a·b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14． 巩固知识　典型例题 例4　已知a＝(?1,2)，b＝(?3,1)．求a·b, |a|,|b|, a,b． 解 a·b＝(?1)(?3)＋2×1＝5. |a|＝ |b|＝ cosa，b＝ 所以 a，b＝ 巩固知识　典型例题 例5　判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(?2, 3),　　b＝(6, 4)； (2) a＝(0, ?1),　　b＝(1, ?2)． 解 (1) 因为a·b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以a⊥ b． (2) 因为a·b＝0×1＋(?1)×(?2)＝2， 所以a与b不垂直． 运用知识　强化练习 1.已知a＝(5,?4)，b＝(2,3)，求a·b． 2.已知a＝