第一线性空间的定义与性质.pptVIP

第一节 线性空间的定义与性质 一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的子空间 四、小结 思考题 思考题解答 第二节 维数、基、坐标 一、线性空间的基与维数 二、元素在给定基下的坐标 三、线性空间的同构 四、小结 思考题 思考题解答 第三节 基变换与坐标变换 一、基变换公式与过渡矩阵 二、坐标变换公式 三、小结 思考题 思考题解答 第四节 线性变换 一、线性变换的概念 二、线性变换的性质 三、小结 思考题 思考题解答 第五节 线性变换的矩阵表示式 一、线性变换的矩阵表示式 二、线性变换在给定基下的矩阵 三、线性变换在不同基下的矩阵 四、小结 思考题 思考题解答 第六章 习题课 １　线性空间的定义 ２　线性空间的性质 ３　子空间 ４　线性空间的维数、基与坐标 ５　基变换 ６　坐标变换 ７　线性变换的定义 ８　线性变换的性质 ９　线性变换的矩阵表示 10　线性变换在给定基下的矩阵 11　线性变换在不同基下的矩阵 典　型　例　题 一、线性空间的判定 二、子空间的判定 三、求向量在给定基下的坐标 四、由基和过渡矩阵求另一组基 五、过渡矩阵的求法 六、线性变换的判定 七、有关线性变换的证明 八、线性变换在给定基下的矩阵 九、线性变换在不同基下的矩阵 第六章　　测试题 测试题答案 定义　设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间． 定理　线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： 对于 中的线性运算封闭． 定义 定义 　　一般地，设 与 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与 同构． 　　线性空间的结构完全被它的维数所决定． 　　任何 维线性空间都与　 同构，即维数相等 的线性空间都同构． 变换的概念是函数概念的推广． 　　同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的， 反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不 同基下的矩阵． 一、线性空间的判定 二、子空间的判定 三、求向量在给定基下的坐标 四、由基和过渡矩阵求另一组基 五、过渡矩阵的求法 六、线性变换的判定 七、有关线性变换的证明 八、线性变换在给定基下的矩阵 九、线性变换在不同基下的矩阵 　　线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不 可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证． 　　若要证明某个集合对于所定义的两种运算不 构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运 算规律中有一条不满足即可． 解 解 证一 证二 定义１　设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为 其中 上式 可表示为 那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵． 结论 　　此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵． 　　同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 上面的例子表明 定理１　设线性空间 中取定两个基 由基 到基 的过渡矩阵为 ， 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为 和 ，那末 于是 证明 因为 线性无关， 所以 证毕. 　　定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 就是相似变换矩阵． 例４ 解 解　由条件知 　　给定了线性空间 的一组基以后， 中的线 性变换与 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用 变换来研究矩阵． 同一变换在不同基下的矩阵是相似的． 扬州大学数学科学学院 　　那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（ 或线性空间）， 中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量． 　　简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间． １．基变换公式 ２．坐标变换公式 或 扬州大学数学科学学院 　　线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的． １．映射 变换的概念是函数概念的推广． 2．从线性空间 到 的线性变换 说明 ３．从线性空间 到其自身的线性变换 下面主要讨论线性空间 中的线性变换． 证明 设 则有 例３　定义在闭区间上的全体连续函数组成实数 域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换 是一个线性变换. 故命题得证. 证明 则有 设 例４　线性空间 中的恒等变换（或称单位变换） ： 是线性变换． 所以恒等变换 是线性变换． 证明 设