第一向量的内积.pptVIP

第一节 向量的内积 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 思考题 思考题解答 第二节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结 思考题 思考题解答 第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 思考题 思考题解答 第四节 对称矩阵的相似矩阵 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　的方法 三、小结 思考题 思考题解答 第五节 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题 思考题解答 第六节 用配方法化二次型为标准形 一、拉格朗日配方法的具体步骤 二、小结 思考题 思考题解答 第七节 正定二次型 一、惯性定理 二、正(负)定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 四、小结 思考题 思考题解答 第五章 习题课 １　向量内积的定义及运算规律 ２　向量的长度 ３　向量的夹角 ４　正交向量组的性质 ５　正交矩阵与正交变换 ６　方阵的特征值和特征向量 ７　有关特征值的一些结论 ８　有关特征向量的一些结论 ９　相似矩阵 １０　有关相似矩阵的性质 １１　实对称矩阵的相似矩阵 １２　二次型 １３　二次型的标准形 １４　化二次型为标准形 １５　正定二次型 １６　惯性定理 １７　正定二次型的判定 典　型　例　题 一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知A的特征值，求与A相关  矩阵的特征值 五、求方阵　的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵　可否对角化 八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 第五章　　测试题 测试题答案 第一步　正交化 第二步　单位化 定义 　　方阵　为正交矩阵的充分必要条件是　的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交． 定义　若　为正交矩阵，则线性变换　　　称为 正交变换． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变． 定义 定理 定理 　属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． 定义 　　矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性． 　　　若　与　相似，则　与　的特征多项式 相同，从而　与　的特征值亦相同． 　　(4)　能对角化的充分必要条件是　有　个线 性无关的特征向量． (5)　有 个互异的特征值，则 与对角阵相似． 定义 二次型与它的矩阵是一一对应的． 定义 定义 注意 一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正 　　交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知　的特征值，求与　 　　相关矩阵的特征值 五、求方阵　的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵　可否对角化 八、利用正交变换将实对称 　　矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 证明 　　将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化． 解一　先正交化，再单位化 解 例1 含有平方项 去掉配方后多出来的项 所用变换矩阵为 解 例2 由于所给二次型中无平方项，所以 再配方，得 所用变换矩阵为 　　将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩． 扬州大学数学科学学院 　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 　　下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质． 为正定二次型 为负定二次型 例如 证明 充分性 故 必要性 故 推论　对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 正定矩阵具有以下一些简单性质 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序